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1、第5章 FIR数字滤波器的设计,一、线性相位FIR数字滤波器的特性 二、窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器,FIR数字滤波器,离散LTI系统,若ai等于零，则系统为FIR数字滤波器。,若ai至少有一个非零，则系统为IIR 数字滤波器。,FIR滤波器的设计,M阶(长度为M+1) FIR数字滤波器的系统函数为,FIR数字滤波器设计： 由给定的系统频率特性, 确定M及系数bk或hk,容易设计成线性相位。 系统总是稳定的。 总能用因果系统实现。,FIR与IIR数字滤波器比较,IIR DF特点：,FIR DF特点：,能在较低的阶数下获得较好的幅度响应。 相位响应是非线性的，若需线性相位，需要相位补偿。
2、 系统不一定稳定。,一、线性相位FIR数字滤波器的特性,线性相位系统的定义 线性相位条件 线性相位系统的频域特性 线性相位系统H(z)的零点分布特性,若f(W)= - aW, 则称系统H(z)是严格线性相位的。,严格线性相位系统定义,广义线性相位系统定义,A (W)是W的可正可负的实函数，称为幅度函数。,1.线性相位系统的定义,如果M阶FIR滤波器的单位脉冲响应hk是实数，则可以证明系统是线性相位的充要条件为,hk = hM-k,2.线性相位条件,hk=hM-k时，称hk为偶对称 hk=-hM-k时，称hk为奇对称,I型线性相位系统,hk偶对称，M为偶数,M=4,II型线性相位系统,hk偶对称
3、，M为奇数,M=3,III型线性相位系统,hk奇对称，M为偶数,M=4,IV型线性相位系统,hk奇对称，M为奇数,M=3,I型 (hk偶对称, M为偶数),3.线性相位系统的频域特性,周期为2p 关于W =0偶对称 关于W =p偶对称,可设计低通、高通、带通、带阻滤波器,II型 (hk偶对称, M为奇数),周期为4p 关于W =0偶对称 关于W =p奇对称,A (p )=0,不能用于高通、带阻滤波器的设计,III型 (hk奇对称, M为偶数),周期为2p 关于W =0奇对称 关于W =p奇对称,A (0 )= A (p ) =0,不能用于低通、高通和带阻滤波器的设计,IV型 (hk奇对称, M
4、为奇数),周期为4p 关于W =0奇对称 关于W =p偶对称,A (0 )=0,不能用于低通和带阻滤波器的设计,四种线性相位FIR滤波器的特性,BP,如果zk是系统的零点，则其倒数zk-1也是系统的零点。,由于hk是实序列，H(z)是实系数多项式，系统零点会以复共轭对的形式出现,4.线性相位系统的零点分布特性,系统零点中存在互为倒数的两组共轭对 和,这四个零点对H(z)贡献的因子是一个四阶偶对称多项式,系统零点中存在一对共轭零点,这两个零点对H(z)贡献的因子是一个二阶偶对称多项式,系统零点中存在一对互为倒数的实数零点,这两个零点对H(z)贡献的因子是一个二阶偶对称多项式,处系统零点可以单独出
5、现,对H(z)贡献的因子是一个一阶多项式,奇对称多项式,偶对称多项式,任意线性相位系统是上述四种子系统的组合,hk奇对称时，H(z)在z=1处一定有零点。,对II型线性相位系统，阶数M是奇数时，H(z)在z=-1处一定有零点。,四种不同类型的线性相位系统在zk=1的零点 (1) I 型FIR滤波器(hk偶对称，M为偶) zk=1和zk= -1无零点或者有偶数个零点。 (2) II 型FIR滤波器(hk偶对称，M为奇) zk= -1有奇数个零点。 (3) III 型FIR滤波器(hk奇对称，M为偶) zk=1和zk= -1有奇数个零点。 (4) IV 型FIR滤波器(hk奇对称，M为奇) zk=
6、1有奇数个零点。,解：,例：已知8阶III型线性相位FIR滤波器的部分零点为：z1= -0.2，z2=j0.8 (1)试确定该滤波器的其他零点。 (2)设h0=1, 求出该滤波器的系统函数H(z)。,(1) z3=1/ z1=-5; z4=1/ z2= -j1.25，z5=z2*= -j0.8，z6=z4*= j1.25； z7= -1; z8= 1;,(2),=1- z-8+5.2(z-1- z-7)+ 2.2025 (z-2- z-6)- 6.253 (z-3- z-5),二、窗函数法设计 线性相位FIR数字滤波器,基本思想 Gibbs（吉伯斯）现象 常用窗函数 Kaiser(凯泽)窗,基
7、本思想：设计一物理可实现的滤波器，使其时域单位脉冲响应逼近理想滤波器的单位脉冲响应hdk。,理想滤波器的hd k 是非因果无限长序列， 需对其进行截短和因果化处理。,1.基本思想,（1）确定理想滤波器的频率响应Hd (ejW ),（2）用IDTFT计算对应的单位脉冲响应hdk,（4）截短hdk,hk= hdkwk， 0k M,窗函数法设计FIR的步骤,（3）根据过渡带宽及阻带最小衰减要求，选择合适的窗函数wk,例：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位FIR滤波器。,(1) 确定理想带通滤波器的频率响应Hd (ejW ),若采用I型线性相位FIR滤波器，相位为 fd(W)= -0.5M
8、W,例：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位FIR滤波器。,(2) 计算IDTFT得hdk,(3) 截断hdk,长度为N=M+1的矩形窗,0kM,结论：,当Wc1=0时，滤波器为理想低通,当Wc2=p时，滤波器为理想高通,理想带通滤波器的单位脉冲响应,由于ABS(ejW)=1- ABP(ejW)，理想带阻滤波器可通过带通滤波器得到,例：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位FIR滤波器。,单位脉冲响应,幅度函数,取Wc1=0.3p，Wc2=0.7p，M=30,矩形窗设计的FIR低通滤波器的幅度函数(Wc=p/2),滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象，此现象称为Gib
9、bs 现象。,2. Gibbs（吉伯斯）现象,M=14,M=60,产生吉伯斯现象原因,由于所设计滤波器的单位脉冲响应,N=M+1,利用DFTF的性质可得所设计FIR滤波器的频率响应,H(ejW)逼近Hd(ejW)的好坏，取决于窗函数的频谱W(ejW),窗函数的频谱,由加窗截断引起,窗函数的频谱,矩形窗的幅度函数W(W),1. W(W)的主瓣宽度,4p/N,2. 旁瓣相对衰减为常数,=13dB,长度为N的矩形窗函数的频谱为,加窗对所设计滤波器的频率特性的影响,FIR滤波器的幅度函数为,结论,1. 在理想频率特性不连续点Wc附近形成一个过渡带，窗函数的主瓣宽度决定了过渡带的宽度。,如何提高阻带衰减
10、?,选用旁瓣幅度较小的窗函数,2. 在过渡带的两边 ，A(W)出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，取决于旁瓣的多少。,3. 窗函数长度N增大，过渡带减小，起伏振荡变密，但不会改变肩峰的相对值，例如在矩形窗情况下，通带和阻带最大波纹幅度大约为滤波器幅度的9%，则阻带最大衰减为20lg(9%)-21dB,矩形窗,Ap =-20lg(1-dp) 0.82dB, As = -20lg(ds ) 21dB,dp=ds=0.09,3.常用窗函数,Hann(汉纳)窗(也称为Hanning汉宁),Ap 0.056dB, As 44dB,dp=ds =0.00
11、64,Hamming(汉明)窗,Ap 0.019dB, As 53dB,dp=ds =0.002 2,Blackman窗(布莱克曼),Ap 0.0017dB，As 74dB,dp=ds =0.0002,常用窗函数性质,例：设计一满足下列指标的I型线性相位 FIR高通滤波器。,Wp=0.67p, Ws=0.53p，Ap=0.3dB, As=50dB。,解:,由As确定截断所用窗函数:Hamming窗或Blackman窗,1) 由过渡带宽度确定滤波器长度N,2) 由给定指标确定待逼近理想高通的截频Wc,=0.6p,采用Hamming窗截断，设计过程如下,I型滤波器，取N=51,由于理想高通滤波器的
12、截频Wc是过渡带的中点，因此通常取为,3) 设计截频Wc =0.6p的I型线性相位FIR高通滤波器,解:,fd(W)= -0.5MW,截断，得I型线性相位FIR高通滤波器的单位脉冲响应,hk=hdkw51k,例：设计一满足下列指标的I型线性相位 FIR高通滤波器。,Wp=0.67p, Ws=0.53p，Ap=0.3dB, As=50dB。,用Hamming窗设计的Wc=0.6p ,N=51 的FIR HP滤波器的幅度响应,b 是一可调参数，调节窗函数的形状。,I0(x ): 零阶第一类修正贝塞尔函数，可用幂级数表示为,一般求20项就能达到所需精度。,定义,4. Kaiser(凯泽)窗,Kais
13、er(凯泽)窗b取不同值时窗的形状,A= -20lg (mindp，ds ),b 与M的确定,例：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。Wp=0.3p, Ws=0.5p，Ap=0.1dB, As=40dB。,解：,(1) 由给定指标确定待逼近理想低通的截频Wc,Wc =(Wp + Ws )/2=0.4p,(2) 设计截频Wc =0.4p的I型线性相位FIR低通滤波器,解：,(3) 由给定指标确定Kaiser窗的参数b和M,A= -20lg(mindp，ds )=As=40dB,I型线性相位滤波器阶数必须是偶数，取M=24,例：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性
14、相位FIR低通滤波器。Wp=0.3p, Ws=0.5p，Ap=0.1dB, As=40dB。,解：,(4) 利用Kaiser窗将hdk截断,例：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。Wp=0.3p, Ws=0.5p，Ap=0.1dB, As=40dB。,解：,单位脉冲响应,设计结果,增益响应 G(W)= 20lg |H(ejW)|,例：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。Wp=0.3p, Ws=0.5p，Ap=0.1dB, As=40dB。,本章小结,一、线性相位FIR数字滤波器的特性 线性相位系统的定义 线性相位条件 线性相位系统的频域特性 线性相位系统H(z)的零点分布特性 二、窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器 基本思想 Gibbs（吉伯斯）现象 常用窗函数 Kaiser(凯泽)窗,
