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1、 年中考 年模拟 二次函数 考点清单 考点一 二次函数的解析式 概念：一般地，形如 （， 为常数）的 函数叫做二次函数灵活运用待定系数法求函数解析式，并注意 自变量的实际意义和取值范围 二次函数的表达形式除了一般式之外，还有顶点式 （） ，交点式 （ ）（），其中 和 是抛物线 与 轴交点的横坐标 考点二 二次函数的图象和性质 二次函数的图象与性质 函数（） 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线 顶点坐标 ， () 最值 当 时， 有最 小 值 当 时， 有最 大 值 增 减 性 在对称 轴左侧 随 的增大而 减小 随 的增大而 增大 在对称 轴右侧 随 的增大而 增大 随 的增大
2、而 减小 系数 、 的作用 决定抛物线开口方 向及大小 ，抛物线开口 向上 ，抛物线开口 向下 、 决定抛物线对称轴 的位置(对称轴方 程为 ) ，对称轴为 轴 ，对称轴在 轴 左侧 ，对称轴在 轴 右侧 决定抛物线与 轴 交点的位置 ，抛物线过 原点 ，抛物线与 轴交于正半轴 ，抛物线与 轴交于负半轴 续表 决定抛物线与 轴 的交点个数 时，与 轴有唯一交点 （顶点） 时，与 轴有两个不同 交点 时，与 轴没有交点 特殊关系 当 时， 当 时， 当 ，即 时， 当 ，即 时， 考点三 二次函数与一元二次方程及不等式的联系 二次函数 （）中，当 时， 的取值就是 一元二次方程 （）的解，即 （
3、） 的图象与 轴交点的横坐标就是一元二次方程 （ ）的根 （）当 时，抛物线 （）与 轴有两 个交点，方程 （）有两个 不相等 的实数根 （）当 时，抛物线 （）与 轴有一 个交点，方程 （）有 两个相等 的实数根 （）当 时，抛物线 （）与 轴无交 点，方程 （） 没有 实数根 考点四 二次函数的综合应用 实际问题 主要考查利润最大化，方案最优化，面积最大等问题 一般步骤： （）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； （）确定自变量取值范围； （）分析所得函数的性质； （）解决提出的问题 综合性问题 二次函数的综合题型涉及的知识点一般较多，有抛物线与 坐标轴的交点坐标求法，几何图形的面积，
4、三角形全等、相似、平 行四边形、圆等，还有与一次函数联立解题等，综合性较强，有一 定难度这样的题型一般用到数形结合、分类讨论及函数与方程 思想 第三章 变量与函数 方法一 利用抛物线的平移规律解题的方法 抛物线 （）通过配方可化为 （） （）的形式，抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原 则，具体如下： （）上下平移：抛物线 （） 向上平移 （）个 单位，所得抛物线的解析式为 （） ；抛物线 （ ） 向下平移 （）个单位，所得抛物线的解析式为 （ ） （）左右平移：抛物线 （） 向左平移 （）个单 位，所得抛物线的解析式为 （） ；抛物线 （ ） 向右平移 （）个单位，所得的抛物线的解析式
5、为 （） 例 （ 甘肃兰州， 分）将抛物线 向右平 移 个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ） （） （） 解析 将抛物线 向右平移 个单位长度，得到 新抛物线的表达式为 （） 答案 思路分析 因为抛物线向右平移 个单位长度，所以自 变量加上 方法规律 抛物线的平移规律记为“上加下减常数项，左 加右减自变量” 变式训练 （ 泰安， 分）将抛物线 （） 向左平移 个单位，再向下平移 个单位，那么得到的抛物线的 表达式为 答案 （） 解析 由题意知，抛物线的顶点坐标为（，），则平移后的顶 点坐标为（，），所以得到的抛物线的表达式为 （） 方法二 二次函数的图象及性质的应用 二次函数 （）中 、
6、的符号与二次函数 （）的图象有着非常密切的关系我们可以根据 抛物线确定 、 的符号，也可以根据 的符号确定开口方向， 根据公式确定抛物线的顶点和对称轴 例 （ 烟台， 分）二次函数 （） 的图象如图所示，对称轴是直线 下列结论：； ；其中正确的是（ ） 解析 抛物线开口向上，所以 ，抛物线的对称轴为 ，所以 ，所以 所以正确 抛物线与 轴有两个交点，所以 ，所以 所以正确 由题图知，当 时，又抛物线与 轴交于 负半轴，所以 ，所以 所以正确 由抛物线的对称性知当 时， 又 ，所以 所以 所以错误 综上，正确的是，故选 答案 变式训练 （ 潍坊， 分）已知二次函数 的图象如图所示，顶点为（，），
7、下列结论：； ；其中正确结论的个数是（ ） 答案 解析 抛物线的开口向上，对称轴在 轴左侧，故 ， 抛物线与 轴的交点在点（，）的上方，故 ，由此可 得 ，故错误把抛物线向下平移两个单位可得抛物线 ，此时抛物线 与 轴有两个交点，故 ，故错误当 时，抛物线的解析式为 （） ，与 轴的交点坐标恰为（，），根据越大，开口越小，可 知要使抛物线与 轴交点在点（，）的上方，则 ，故正确 因为抛物线的对称轴为直线 ，且 时，所以由抛物 线的对称性可知， 时，即 ， 故正确，选 方法三 二次函数与一元二次方程的联系 函数与方程，函数与不等式可以互相转化，灵活运用 例 （ 江苏南京， 分）已知函数 （） （
8、 为常数） （）该函数的图象与 轴公共点的个数是（ ） 或 （）求证：无论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 （） 的图象上； （）当 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值 范围 解析 （）（ 分） （） （）， 该函数的图象与 轴公共点的个数是 或 （）证明：（） () （） ， 所以该函数的图象的顶点坐标为 ，（） () 把 代入 （） ，得 () （） 因此，无论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 （ ） 的图象上（ 分） （）由（）知，该函数的图象的顶点纵坐标为（） ，设 年中考 年模拟 （） ，由二次函数的性质可知， 当 时， 有最小值 ； 当 时， 随 的增大而减小； 当 时，
9、 随 的增大而增大 又当 时，（） ；当 时，（） 因此，当 时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值 范围是，（ 分） 变式训练 （ 湖北荆州， 分）若函数 （） 的图象与 轴有且只有一个交点，则 的值为 答案 ， 或 解析 当 时，函数 （），其图 象与 轴的交点为 ， ()；当 时，则由题意得 （） （） ，解得 或，故答案为 ， 或 评析 分 和 两种情况进行解答 方法四 用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所 表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面此 类问题一般先运用“总利润总售价总成本”或“总利润每件 商品所获利润销售数量”，建立利润与价格之间的二次函数关 系式，再求出这个函数关系式的顶点坐标，从而得到最大利润 例 （ 滨州， 分） 如图，一小球沿与地面成一 定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑 空气阻力，小球的飞行高度 （单位：）与飞行时间 （单位：）之 间具有函数关系 ，请根据要求解答下列问题： （）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 时，飞行的时 间是多少？ （）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？ 最大高度是 多少？ 解析 （）当 时， ，化简得 ，解得 或 ，即飞行的时间是 或者
