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1、【考纲下载】,1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.,正、余弦定理及应用举例,正弦定理 (1)定理： = = 其中R为三角形外接圆的半径 (2)变式：a ，b ，c ； sin A ，sin B ，sin C ； abc .,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC,1,提示：已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求其他的角和边时，要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解，两解，无解三种情况,2余弦定理 (1)定理：a2 ； b2 ； c2 ； (2)
2、变式：cos A ； cos B ； cos C .,b2c22bccosA,a2c22accosB,a2b22abcosC,提示：在ABC中，已知a，b，A，求c时，利用余弦定理a2b2c2 2bccos A得到关于c的二次方程，但也应注意三角形解的个数的判断,3三角形面积公式,(1)S (ha表示a边上的高)； (2)S absin C ； (3)S r(abc)(r为内切圆半径),实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视 线在水平视线 叫仰角；目标视线在水平视线 叫俯角(如图),上方,下方,4,(2)方位角 指从 方向顺时针转到目
3、标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图),正北,(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数 提示：在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平 面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归结到三角形中解决,1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c ，b ，B120， 则a等于( ),解析：由正弦定理得,又C为锐角，则C30，A30，ABC为等腰三角形，ac . 答案：D,2(2009广东卷)已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c. 若ac ，且A75，则b( ),解析：ac，A75，B30， b2a2c22accos 30,b2. 答案：A,3已知锐角A
4、BC的面积为3 ，BC4，CA3，则角C的大小为( ) A75 B60 C45 D30,答案：B,4在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是 30、60，则塔高为_m.,在ACD中，由余弦定理得，,解析：如图，由已知可得BAC=30，CAD=30， BCA=60，ACD=30，ADC=120，,判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是 正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意 “等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别依据已知条件中 的边角关系判断时，主要有如下两条途径：,(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边
5、关系，通过因式分解、配方等得出 边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函 数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC这个结论,在 中， 分别表示三个内角 的对边，如果 ，判断三角形的形状 思维点拨：利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系,【例1】,解：解法一：已知等式可化为a2sin(AB)sin(AB) b2sin(AB)sin(AB) 2a2cos Asin B2b2cos Bsin A 由正弦定理可知上式可化为： sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bs
6、in A sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0 sin 2Asin 2B，由02A,2B2， 得2A2B或2A2B，即AB或A B， ABC为等腰或直角三角形,解法二：同解法一可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B， 由正、余弦定理，可得,a2(b2c2a2)b2(a2c2b2) 即(a2b2)(a2b2c2)0 ab或a2b2c2，ABC为等腰或直角三角形.,三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手
7、段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中,(1)求ABC的面积； (2)若c1，求a的值,形面积公式求解即可；(2)根据第(1)问求出的bc，结合bc就可以求出b， c的值，根据余弦定理求解,解：(1)因为,得bccos A3，所以bc5.,因此SABC bcsin A2.,(2)由(1)知，bc5.又c1，所以b5， 由余弦定理，得a2b2c22bccos A20， 所以a2 .,已知ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0) (1)若c5，求sin A的值； (2)若A为钝角，求c的取值范围 解：(1)解法一：A(3,4)，B(0,0)，|AB|5.
8、 又C(c,0)，sin B . 当c5时，|BC|5，,由正弦定理得,变式2：,解法二：A(3,4)，B(0,0)，|AB|5. 当c5时，|BC|5.,由余弦定理得,(2)A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)， |AC|2(c3)242，|BC|2c2.,A为钝角，cos A .,三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中解三角形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解题的基础,【例3】 ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C ， sin(BA)cos C. (1)求A，C； (2)若SABC3 ，求a，c.,思维点拨
9、：(1)变换tan C ，寻找A，B，C的三角函数之间的关系；(2)在解决了第(1)问的情况下，则相当于知道了三角形的三个内角，根据三角形面积公式和正弦定理就可以得到一个关于a，c的方程组，解这个方程组即可,解：(1)因为tan C,所以sin Ccos Asin Ccos Bcos Csin Acos Csin B， 即sin Ccos Acos Csin Acos Csin Bsin Ccos B， 得sin(CA)sin(BC) 所以CABC，或CA(BC)(不成立)， 即2CAB，,又因为sin(BA)cos C ，,由正弦定理，得,由、得,变式3： (2009山东卷)已知函数f(x)
10、2sin xcos2 cos xsin sin x (0)在x处取最小值 (1)求的值； (2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边已知a1，b ， f(A) ，求角C.,解：(1)f(x)2sin x cos xsin sin xsin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos cos xsin sin(x) 因为f(x)在x处取最小值，所以sin()1， 故sin 1.又0，所以 .,(2)由(1)知,因为,且A为ABC的内角，所以,由正弦定理得,解斜三角形有着广泛的应用，如测量、航海、几何、物理诸方面都要用到解斜三角形的知识，解此类问题一般步骤是：(1)
11、阅读理解，画出示意图，分清已知和所求，尤其要理解应用题中有关名词和术语，如坡度、仰角、俯角、象限角、方位角等；(2)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形；(3)解这些三角形，求出答案,(2009辽宁卷)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km， 1.414， 2.449),【例4】,解：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0
12、.1. 又BCD180606060， 故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.,故B，D的距离约为0.33 km.,【方法规律】,1正、余弦定理和三角形面积公式是本讲课的重点，能利用三角形内角 和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三 角形，以及利用它们解决一些实际问题 2应熟练掌握和运用内角和定理：ABC，,中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数 3正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A，可以进行化简或证明 4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为
13、角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.,【高考真题】,(2009安徽)在ABC中，sin(CA)1，sin B . (1)求sin A的值； (2)设AC ，求ABC的面积,【规范解答】,解：(1)由sin(CA)1，CA，知,又ABC，所以2AB ，,故cos 2Asin B，,本题的关键是关系式2AB ，命题者把这个关系用sin(CA)1表达出来，然后在条件sin B 下求解sin A(实际上也可给出sin A或cos A的值求解sin B、cos B等)，重在考查方程思想在解题中的应用,【探究与研究】,确定三角形的条件之一就是知道三角形的两个内角的大小(实际上就是知道
14、了三个内角的大小)及一个边长，在解题中要善于利用确定三角形的条件分析解决问题，如本题中由第(1)问的结果，实际上就是知道了该三角形的三个内角的大小，第(2)问中又给出了一个边长，根据正弦定理可以求出另外两边的长，这样使用三角形的面积公式 S absin C bcsin A acsin B中的任何一个都可以解决问题,三角形中的三角恒等变换的关键是三角形内角和定理，离开了三角形内角和定理就无法解决三角形中的三角恒等变换，在解题时要充分考虑到这点，如在必要时用sin(AB)代换sin C，用,【发散思维】,本题给出的条件可以归结为sin(CA)1，sin(CA) ，按照正弦的和、差角公式展开后就是sin Ccos Acos Csin A1，sin Ccos Acos Csin A ，两个式子相加，得sin Ccos,再把交换 后的两个式子相除，得,即tan C2tan A又在ABC中，,可以计算出,故有2tan A,解这个方程可以求出
