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1、1,第1章 数列极限与数项级数, 1.1 数列的极限,2,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,引例1、割圆术：,播放,刘徽, 1.1.1 数列极限的定义,3,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,4,引例2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,5,例如,6,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,7,播放,数列的极限的定义,8,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,9,10,
2、如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,11,几何解释:,其中,12,数列极限的定义未给出求极限的方法.,注意：,几何解释:,13,例1. 已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,14,例2. 已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,取,例3. 设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 则当 n N 时,就有,故,的极限为 0 .,16, 1.1.2 收敛数列的性质,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同
3、理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,定理1. 收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,17,定理2 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,虽有界但不收敛 .,数列,18,定理3. 收敛数列的保序性.,证:,取,19,20, 1.1.3 收敛数列的四则运算,定理4 . 若,则有,21,1.1.4 数列收敛的判别法,例5.例6 见书。,准则1 (夹逼定理),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1
4、),即,故,23,例7. 证明,证: 利用夹逼准则 .,且,由,准则2 (单调有界数列必有极限 ),( 证明略 ),25,例8. 设,证明数列,极限存在 .,证: 利用二项式公式 , 有,26,大,大,正,又,比较可知,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,又,1.1.5 子数列的收敛性,28,*,定理7. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .,证: 设数列,是数列,的任一子数列 .,若,则,当,时, 有,现取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,由此证明,*,29,由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限 ,例如，,发散 !
5、,则原数列一定发散 .,说明:,定理9. 任意有界数列必有收敛的子数列。（证明略）,30,思考与练习,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,2. 已知, 求,时,下述作法是否正确? 说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,31,故极限存在，,备用题,1.设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,2. 设,证:,显然,证明下述数列有极限 .,即,单调增,又,存在,“拆项相消” 法,33,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和
6、公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,34,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的
7、发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,35,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,36,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,37,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,38,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,39,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,40,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,41,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,42,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,43,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,
