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高 等 数 学 (下),第八章 空间解析几何与向量代数,向量:,既有大小又有方向的量.,向量表示:,模长为1的向量.,零向量:,模长为0的向量.,向量的模:,向量的大小.,单位向量:,一、向量的概念,或,或,或,方向任意.,第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法,自由向量:,不考虑起点位置的向量.,相等向量:,大小相等且方向相同的向量.,负向量:,大小相等但方向相反的向量.,向径:,1 加法:,(平行四边形法则),特殊地:若,分为同向和反向,(平行四边形法则有时也称为三角形法则),二、向量的加减法,向量的加法符合下列运算规律:,(1)交换律:,(2)结合律:,(3),2 减法,三、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律:,(1)结合律:,(2)分配律:,两个向量的平行关系,证,充分性显然;,必要性,两式相减,得,按照向量与数的乘积的规定,,上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,例1 用向量法证明:三角形两边中点的连线平行且 等于第三边的一半.,由数乘的定义知 DE/BC 且 |DE|= |BC|.,证,设D, E分别是ABC的边AB, BC的中点.,则,所以,解,