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1、第四章 图形的认识 等腰三角形及直角三角形 考点清单 考点一 等腰三角形 等腰三角形的概念、性质与判定 等腰三 角形 概念有两条边 相等 的三角形是等腰三角形 性质 （）等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴 （）性质 ：等腰三角形的两底角 相等 （简写成“等 边对 等角 ”） （）性质 ：等腰三角形的顶角平分线，底边上的 中 线 、底边上的 高 相互重合（简写成“三线合一”） 判定等角对 等边 等边三角形 等边三角形 性质 有三条对称轴 三个内角都是 判定 三个内角都相等的三角形 有一个内角是 的等腰三角形 线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离 相等； 到一条线
2、段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 考点二 直角三角形 直角三角形 概念有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 性质 （）直角三角形的两个锐角 互余 （）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 （）在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直 角边等于斜边的 一半 （）勾 股 定 理： 在 直 角 三 角 形 中， 两 条 直 角 边 长 、 的 平方和 等于斜边长 的 平方 ，即 判定 （）如果三角形一边上的中线等于这条边的 一半 ，那么这 个三角形为直角三角形 （）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形 角的平分线 角的平分线上的点到
3、 这个角两边的距离 相等；角的内部 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 方法一 合理利用等腰三角形的性质构造全等三 角形 角的平分线和线段垂直平分线的性质应用较为灵活两个概 念的有关性质是根据轴对称的性质通过全等推导得出的，在做 题时应牢记这两个性质，特别是和等腰三角形结合证明线段或 角相等时，可以减少证全等的次数，提高做题效率 例 （ 菏泽， 分）如图， 和 均为等 腰三角形，点 ， 在同一直线上，连接 （）如图 ，若 求证：； 求 的度数 （）如图 ，若， 为 中 边 上的高， 为 中 边上的高，试证明： 解析 （）证明： 和 均为等腰三角形， ， ， ， ， （）， 由知， 在 中，
4、 （）证明：在等腰 中， ， ， ， 在 中， ， 由（）中，得 （ ） ， 在 中， ， 由（）中知 ， ，即 方法二 利用勾股定理解决折叠问题 解决翻折类问题时，最核心的是研究翻折前与翻折后的变 化，特别注意翻折前后图形全等，从而得到求角或线段相等等几 何元素的关系 例 （ 河南，）如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别是边 ， 上的动点，沿 所在的直线折叠，使点 的对应点 始终落在边 上，若 为直角三角形，则 的长为 年中考 年模拟 解析 设 ，由折叠的基本性质可得 ， 当时，如图 所示： 图 在 中， ， ， ， 解得 当时，如图 所示： 图 在 中， ， ， 由勾股定理，得 ， ，
5、解得 综上所述， 的长为 或 答案 或 思路分析 由 为直角三角形可分为两种情况： ； 设 ，由折叠的基本性质可得 ， 当 时， 在 中， ， 所 以 为等腰三角形， ，即可求出 的长；当 时，在 中， ，所以 为 等腰三角形， ，即可求出 的长 易错警示 此类问题容易出错的地方是不能利用分类讨 论的思想画出相应的图形，不能根据勾股定理进行求解 方法规律 折叠问题是一种轴对称变换，也是中考中的 热点问题变换后图形的形状与大小没有改变，这是解决问题的 关键所在此类问题通常都是利用折叠得出相关线段和角的关 系，再由相似的性质、勾股定理等知识求出答案 变式训练 （ 江苏苏州， 分）如图，在 中， ，点 、 分别在 、 上，且 ，将 沿 所在直线折叠得到（点 在四边形 内），连接 ，则 的长为 答案 解析 由折叠知， ， 为等边三角形， 四边形 为菱形， 作 于点 ， 在 中，易得 ， ， 在 中，
