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1、第二章 方程与不等式 2. 1 整式方程 26 考点一 一元一次方程 1. 定义:只含有 一个未知数 ,并且未知数的最高次数是 1,这样的 整式方程 叫做一元一次方程. 2. 解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号; (3)移项;(4) 合并同类项 ;(5)把未知数的系数化为 1. 3. 常见应用问题: 类型基本数量关系 数字问题 某三位数的个位数字为 c,十位数字为 b,百位数字为 a, 则这个三位数应表示为 100a+10b+c 利润问题 a. 利润=售价-成本; b. 利润率= 利润 成本 100% 储蓄问题 a. 利息= 本金利率期数 ; b. 本息和=本金+利息=本金(
2、 1+利率期数 ); c. 利息税=利息税率 行程问题 a. 路程=速度时间; b. 相遇问题:甲车行驶的路程+乙车行驶的路程 = 初始 距离; c. 追及问题:快车行驶的路程-慢车行驶的路程=追及路程 考点二 一元二次方程 1. 定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的 方程,叫 做 一 元 二 次 方 程, 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 为 ax2+bx+c=0 (a,b,c 为常数,a0). 2. 常用解法: (1)直接开平方法:对于形如 x2=m(m0)或(ax+b) 2 =c(a 0,c0)的方程,直接开平方得 x= m 或 ax+b= c ; (2)配方
3、法:将方程 ax2+bx+c= 0(a0)配方为(x+m) 2 =n (n0)的形式来求解; (3)公式法:一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a0)的求根公式 为 x= -b b2-4ac 2a (b2-4ac0) . (4)因式分解法:将一元二次方程通过分解因式变为(x-a) (x-b)= 0 的形式,进而得到 x-a=0 或 x-b=0 来求解. 3. 一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a0)的根的判别式是 = b2-4ac . (1) 0 一元二次方程有两个不等实数根; (2)=0一元二次方程有 两个相等 实数根; (3) 0, x= -(-1) 5 21 = 1 5 2 , x
4、1= 1+ 5 2 ,x2= 1- 5 2 , 当 x= 1+ 5 2 或 x= 1- 5 2 时,代数式 x2-x 的值等于 1. 方法二 一元二次方程的根的判别式与根的情况 要判断一元二次方程是否有根,即判断 b2-4ac 与 0 的大小, 一般方法是配完全平方法. 例 2 (2017 南充,20,8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2 -(m-3)x-m=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)如果方程的两实根为 x1、x2,且 x2 1 +x 2 2 -x 1x2= 7,求 m 的值. 解析 (1)证明: x2-(m-3)x-m=0, =-(m-3) 2-41(-m)=
5、 m2-2m+9=(m-1)2+80, 方程有两个不相等的实数根. (2) x2-(m-3)x-m= 0,方程的两实根为 x1、x2, x1 +x 2= m-3,x1x2=-m, x2 1 +x 2 2 -x 1x2 =7, (x1 +x 2) 2 -3x 1x2 =7, (m-3) 2-3(-m)= 7, 解得 m1=1,m2 =2, 即 m 的值是 1 或 2. 思路分析 (1)要证明方程有两个不相等的实数根,只要 证明一元二次方程根的判别式的值大于 0 即可; (2)根据根与系数的关系可以得到关于 m 的方程,从而可 以求得 m 的值. 方法三 利用一元二次方程解应用题 利用一元二次方程
6、解有关“销售定价”应用题的步骤: 第一步:根据题意,设出相关未知数; 第二步:用含有未知数的代数式准确表示出销售一件商品 的利润以及相应的销售量; 第三步:列出一元二次方程; 第四步:解方程,求出方程的解; 第五步:检验,作答. 例 3 (2014 辽宁沈阳,21,10 分)某公司今年销售一种产 品,1 月份获得利润 20 万元,由于产品畅销,利润逐月增加,3 月 份的利润比 2 月份的利润增加 4. 8 万元,假设该产品利润每月 的增长率相同,求这个增长率. 解析 设这个增长率为 x. 依题意得 20(1+x) 2-20(1+x)= 4. 8, 解得 x1=0. 2,x2=-1. 2(不合题意,舍去). 0. 2=20%. 答:这个增长率为 20%.
