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1、平均变化率,2019年1月14日星期一,修远中学 梁成阳,你能列举出生活中一些变化的例子吗？,随着气球内空气容量增加，气球半径如何变化？,某市2008年4月20日最高气温为33.4， 而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4 和18.6，短短两天时间，气温陡增14.8， 闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”,(一)、问题情境 1、情境：,（注： 3月18日为第一天）,该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温 变化曲线:,问题2：分别计算AB、BC段温差,问题1：你能说出A、B、C三点的坐标所表示意义吗？,15.10C,14.80C,结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度,
2、t(d),问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？,（注： 3月18日为第一天）,问题3：曲线AB、BC段几乎成了“直线”， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？,t(d),(1)连结BC两点的直线斜率为kBC=,t(d),(2)由此联想用比值 近似地量化BC这一段 曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在32，34上的平均变化率。,(3)分别计算气温在区间1，32 32，34的平均 变化率,0.5,7.4,t(d),(2)“气温陡增”它的数学意义是什么？（形与数 两方面）,(1)如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？,回答问题：,一般地,函数f(x)在区间x1，x2上的平均 变化率为：,
3、二、建构数学,t(d),曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”,(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，,(2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。,说明：,例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图 所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月 到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你 能得到什么结论？,结论：该婴儿从出生到 第3个月体重增加的速度 比第6个月到第12个月体 重增加的速度要快,(1)1kg/月,(2)0.4kg/月,变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如图1 及百米赛跑路程与时间关系分别如图2
4、所示，试问： （1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？ （2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时， 谁跑的较快？,图1,图2,例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位： ）,计算第一个10s内V的平均变化率。,甲,乙,解:在区间0,10上，体积V的平均变化率为,注：负号表示容器甲中水在减少,变式1： 一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥容器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水前t s容器里水的体积的平均变化率.,解：设注水ts时，容器里水的体积Vcm3,由此可见当t越来越大时，容器里水的体积的 平均变化率保持不变。,在0,t内容器里水的体
5、积的平均 变化率为:,由题意知 V=nt,变式2： 一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥容器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水时前t s水面上升的平均速率.,解：设注水ts时，水面高度为ycm，此时水面半径为xcm,可见当t越来越大时，水面上升的平均速率将越来越小,在0,t内水面上升的平均速率为:,例3、已知函数,，分别计算,在下列区间上的平均变化率： （1）1，3；（3）1，1.1； （2）1，2；（4）1，1.001。,(1)函数f(x)在1,3上的平均变化率为4,(2)函数f(x)在1,2上的平均变化率为3,(3)函数f(x)在1,1.1上的平均变化率为2.1,(4)
6、函数f(x)在1,1.001上的平均变化率为2.001,1,3,问题(1)求函数在1,a (a1)上的平均变化率；,例3引申： 已知函数,(1)函数在1,a (a1)上的平均变化率为a+1,(2)当a趋近于1时，函数在1,a 上的 平均变化率趋近于2,问题(2)当a趋近于1时，函数在1,a 上的平均变化率有何趋势？,D,求函数y = f(x)在区间x1，x2上的平均 变化率的步骤：,1、在经营某商品中，甲挣到10万元， 乙挣到2万元，你能说甲的经营成果 一定比乙好吗？,课堂练习,变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？,注：
7、仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑一个量相对于另一个量改变了多少,2、已知函数f(x)=2x+1，g(x)= - 2x，分别 计算在区间-3，-1，0，5上f(x)及g(x)的 平均变化率;你能得出什么结论？,结论：对于一次函数f(x)=kx+b在区间m，n 上的平均变化率与所给的区间无关，只与一次 项系数有关，且其平均变化率为一次项系数。,由,探索：一次函数f(x)=kx+b在区间m，n上的平均变化率有何特点？,问题1：本节课你学到了什么？ 函数的平均变化率的概念； 利用平均变化率来分析解决实际问题,小结,问题2、解决平均变化率问题需要注意什么？ 分清所求平均变化率类型 (即什么对象的平均变化率) 两种处理手段：,小结,(1)看图,(2)计算,问题3、本节课体现了哪些数学思想方法？ 数形结合的思想方法 从特殊到一般、从具体到抽象的推理 方法,小结,必做题 2-1课本P7(2、3、4),选做题： 向气球内匀速吹气时,你会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,你能从数学的角度解释这一现象吗?,布置作业 ：,谢 谢 ！,
