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1、一、导数的应用,1、利用导数判别函数的单调性,定理 设 在 可导，若对任意,都有 (或 ），,则 在 内是单增的（或单减的）,第六章 一元微积分的应用,（A),（B),（C),（D),解：,又,于是，（B）入选,例2 设 在 连续，在,可导，且 ， 单增，,试证： 在 内也单增。,证明一：,令,而,解题提示：当知道 在 可导，,又已知 时，通常,用拉格朗日中值定理,已知 单增，即,故 在 内单增。,于是 单增；,用拉格朗日中值定理，有,由于 单增，有,复习：极值、驻点的概念；极值点和驻点的关系；极值点的范围；极值的两个充分条件；求极值的步骤；最值的求法。,故 在 内单增。,2、利用导数研究函数
2、的极值与最值,例3 已知,则在 处（ ）,（A） 的导数存在，且,（B） 取极大值,（C） 取极小值,因为,由极限的保号性，存在 的 邻域,使得,于是,故 是 的极大值，选（B）,例4 设函数,有极值点 和 ，若用,表示 ，则,（ ）,解：,是极值点，所以一定是驻点,即 为 的根，,由韦达定理可知,微分方程,例5 若函数 对于一切实数 满足,处有极值，故,解： 由 可导，且在,将 代入 式，得,故 为 的极小值。, 由 对一切实数二阶可导，,又 为极值，所以,故 为 的极小值。,例6 由直线 及抛物线,围成一个曲边三角形，在曲边,上求一点，使曲线在该点处的切线与,直线 及 所围成的三角形面,积
3、最大。,解：如图,切点为,切线 的方程为,点在 上，,所以,令 得，,则有,令 得，,则有,于是， 的面积为,令,（舍去）,为极大值，,3、函数作图,、图形凹凸性的判别,定义1 设 在区间 有定义，对,恒有,则称 在 上是凸的（或凹的）,定理1（判别定理）若在 上,（或 ），则 在 上是凸,（或凹的）。,、曲线拐点的求法,图形的拐点。,定义2 函数 图形的凹凸分解点称,定理2（判别法1）若 （或,不存在），当 变动经过 时，,变号，则 为拐点。,内有三阶导数，且,定理3（判别法2）若 在 的邻域,则 为拐点。,、曲线的渐近线, 水平渐近线, 铅直渐近线, 斜渐近线,若,则 称为 的斜渐近线。,、函数作图,作图程序:, 求出 定义域；, 求渐近线；, 判别 的奇偶性和周期性；, 求 ，求出驻点和一阶导不存在的点；求出 的点及 不存在的点；, 列表，判别函数的单调性、极值、 凹凸性、拐点；, 求极值点、拐点、与坐标轴的交点 等特殊点的坐标；, 描绘曲线。,例7 作函数 的图形,解： 定义域为,为铅直 渐近线,为斜渐近线, 令, 列表, 极小值为,拐点为, 作图,
