基本公式、直线的斜率、直线的方程

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1、,1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于 ( ) (A)-1 (B)1 (C)-3 (D)3 【解析】选C.因为 又A、B、C三点共线，所以kAB=kAC， 即 解得：x=-3.,2.直线 x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为( ) (A)30 (B)60 (C)150 (D)120 【解析】选B.由直线方程得y= x+a，所以斜率k= ,设倾斜角为, 所以tan= ,又0180， 所以=60.,3.A、B为数轴上的两点,B的坐标为-5,BA=-6,则A的坐标 为( ) (A)-11 (B)-1或11 (C)-1 (D)1或-11 【解析】选A.设A的坐标为x,

2、则BA=x-(-5)=x+5, 又BA=-6, x+5=-6,x=-11.,4.如果AC0,且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【解析】选C.由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距 在y轴上的截距 故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.,5.过点(2，1)且在x轴上的截距是在y轴截距2倍的直线方程为_. 【解析】若直线过原点，满足条件，方程为 若直线不过原点，设直线方程为 又过(2,1)点， 解得b=2. 答案： 或x+2y-4=0,两点间距离公式与中点坐标公式 【例1】(1)已知数轴上A、B两点的坐标分

3、别为x1=a+b, x2=a-b.求AB、BA、d(A，B)、d(B，A). (2)已知函数 求f(x)的最小值，并求取得最小值时x的值. 【审题指导】(1)明确AB为数轴上 的数量(或坐标)，明确d(A,B)为A、B两点间的距离. (2)将两被开方式配方，可发现f(x)表示平面直角坐标系中动点P(x,0)到两定点的距离之和，最后利用数形结合的思想求解.,1,【自主解答】(1)AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b; d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|. (2) 上式表示点P(x,0)与点A

4、(2，2)的距离加上点P(x,0)与 点B(1，1)的距离，即求x轴上一点P(x,0)到点A(2，2)、 B(1，1)的距离之和的最小值.,由图利用对称可知，函数f(x)的最小值为两点B(1,-1)和A(2，2)间的距离. 再由两点式直线方程得 BA的方程为3x-y-4=0，令y=0得 故 时，f(x)取得最小值,【规律方法】1.数轴的公式 (1)数轴上的两点A(x1),B(x2),则向量 的坐标AB=x2-x1, A、B两点间的距离为d(A,B)=AB= =x2-x1. (2)数轴上的三点A、B、C,都有 和AC=AB+BC成立.,提醒：要注意 、AB与AB的不同. 表示起点为A,终 点为B

5、的向量,它既有大小又有方向;AB表示向量 的坐标 (或数量),它是一个实数,其前面的正号或负号表示向量 的方向与轴同向或反向;AB表示向量 的大小,即线段 AB的长度.,2.两点间的距离公式 平面直角坐标系中，两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离表示为 (1)当P1P2平行于x轴时，d(P1,P2)=|x2-x1|; (2)当P1P2平行于y轴时，d(P1,P2)=|y2-y1|; (3)当P2点是原点时，d(P1,P2)=,【互动探究】若本例(2)中 求f(x)的最大值，并求取得最大值时x的值. 【解析】 上式表示P(x,0)到A(2，2)与到B(1，1)的距离之差， AB的方程

6、为x-y=0，令y=0得x=0. 当x=0时，f(x)max= .,【变式训练】已知平行四边形的三个顶点是A(3,-2)、B(5,2)、C(-1,4)，求它的第四个顶点D的坐标. 【解题提示】利用平行四边形的对角线互相平分,由中点坐标公式即得.,【解析】如图，若ABCD1成平行四边形, 对角线AC、BD1互相平分, AC、BD1的中点重合. 设D1(x1，y1)，由中点坐标公式有 解得,点D1的坐标为(-3,0). 若ABD2C成平行四边形,则同理可求得点D2的坐标为(1,8). 若AD3BC成平行四边形,则同理可求得点D3的坐标为(9,-4). 综上所述，点D的坐标为(-3,0)或(1，8)

7、或(9，-4).,直线的倾斜角与斜率 【例2】(1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为( ) (2)直线 的倾斜角的范围是( ),2,【审题指导】(1)关键抓住PQ的中点，求出P、Q的坐标 (2)关键抓住直线方程，求出斜率取值范围,从而结合正切函数图象得到倾斜角的取值范围. 【自主解答】(1)选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有 解得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为 (2)选B.由 得直线斜率 -1cos1， 设直线的倾斜角为，则 结合正切函数在 上的图象可知，,【规律方法】1.若已知直线的倾斜角或的某种三

8、角函数，一般根据k=tan求斜率. 2.若已知直线上两点(x1,y1)，(x2,y2)(x1x2)，一般根据斜率公式 求斜率.,3.已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k=tan的值域问题；已知斜率k的范围求倾斜角的范围，实质上是在 上解关于正切函数的三角不等式问题.由于函数k=tan在 上不单调，故一般借助该函数图象来解决此类问题.,【互动探究】若将本例(2)中直线变为: (mR且m0)，则该直线倾斜角的范围如何？ 【解析】选A.由 得斜率 得： 或 设直线的倾斜角 为，则 或 结 合正切函数在 上的图象可 知： 或,【变式训练】(2011长沙模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-

9、1，1)和Q(2，2)，若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围. 【解析】如图所示，直线l:x+my+m=0过定点A(0，-1)， 当m0时,解得 或 当m=0时，直线l方程为x=0，与线段PQ有交点，所以，实数m的取值范围为,直线的方程 【例3】(2011厦门模拟)直线l经过点P(3，2)且与x,y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12,求直线l的方程. 【审题指导】抓住题目中AOB的面积与截距有关，从而选直线方程的截距式求解，若关注直线l过定点P(3,2)，可选用直线的点斜式方程求解.,3,【自主解答】方法一：设直线l的方程为 (a0,b0), A(a,0

10、),B(0,b), 解得 所求直线l的方程为 即2x+3y-12=0. 方法二：设直线l的方程为y-2=k(x-3), 令y=0，得直线l在x轴的正半轴上截距 令x=0,得直线l在y轴的正半轴上的截距b=2-3k,解得 所求直线l的方程为 即2x+3y-12=0.,【规律方法】 求直线方程的常用方法有： 1.直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程. 2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程. 提醒：求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.在用截距式

11、时，应先 判断截距是否为0,若不确定，则需分类讨论.,【变式训练】求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l； (2)经过点A(-1,-3)，倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. 【解析】(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点(0,0)和(3,2)， l的方程为 即2x-3y=0. 若a0,则设l的方程为 l过点(3，2)， a=5,l的方程为x+y-5=0. 综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.,(2)由已知：设直线y=3x的倾斜角为, 则所求直线的倾斜角为2, tan=3， 又直线经过点A(-1，-3)

12、, 因此所求直线方程为 即3x+4y+15=0.,【例】直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点. (1)当|OA|+|OB|最小时，O为坐标原点，求l的方程； (2)当|PA|PB|最小时，求l的方程. 【审题指导】抓住直线l过点P(1,4),设出直线l的点斜式方程.将A、B两点坐标用斜率k表示.进而将|OA|+|OB|、|PA| |PB|再分别表示为斜率k的函数，然后求其最值.,【规范解答】设直线l的斜率为k. 依题意，l的斜率存在，且斜率为负, 则y-4=k(x-1)(k0). 令y=0,可得A( 0)； 令x=0,可得B(0,4-k).,(1) 当且仅当 且

13、k0, 即k=-2时，|OA|+|OB|取最小值. 这时l的方程为2x+y-6=0.,(2)|PA|PB|= 当且仅当 且k0即k=-1时， |PA|PB|取最小值. 这时l的方程为x+y-5=0.,【规律方法】直线方程的综合问题常见的类型及解法： (1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x、y的关系，将问题转化成关于x的某函数，借助函数性质来解决.(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等知识来解决.,【变式备选】已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于

14、A,交y轴正半轴于B,AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.,【解析】(1)直线l的方程是： k(x+2)+(1-y)=0, 令 解得 无论k取何值，直线总经过定点(-2,1). (2)由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为 在 y轴上的截距为1+2k，要使直线不经过第四象限，则必须有 解之得k0; 当k=0时，直线为y=1，符合题意，故k0.,(3)由l的方程，得 依题意得 解得k0. “=”成立的条件是k0且 即 Smin=4,此时l的方程为:x-2y+4=0.,忽略“极端”情况的讨论 【典例】(2011徐州模拟)与点M(4,3)的距离为5,且在两坐标轴上的截

15、距相等的直线方程为_. 【审题指导】解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解.,【规范解答】当截距不为0时， 设所求直线方程为 即x+y-a=0, 点M(4,3)与所求直线的距离为5, ,所求直线方程为 当截距为0时，设所求直线方程为y=kx,即kx-y=0. 同理可得 所求直线方程为 即4x+3y=0. 综上所述，所求直线方程为 答案：,【误区警示】解答本题易忽略截距为0的“极端”情况导致失误，在选用直线方程时常易忽视的“极端”情况有： 1.选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况; 2.选用截距式时，忽视截距为零的情况； 3.选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况.,【变式训练】求满足下列条件的直线方程； (1)过(1,2)，(2，b)两点； (2)过点P(2,-1)，在x轴和y轴上的截距分别为a,b且满足a=3b.,【解析】(1)当b2时，由两点式，得： 得： (2-b)x+y+b-4=0, 当b=2时，直线方程为y=2. (2)若a=3b=