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1、第1讲 函数及其表示,从近两年高考试题来看，本节内容主要考查分段函数求值及应用问题，题型多以选择题、填空题为主，难度稍低，着重考查学生对函数的理解能力及运算能力,一、函数与映射的概念,由映射的定义可以看出， 映射是函数概念的推广， 函 数是一种特殊的映射， 要注意构成函数的两个集 合A, B必须是非空数集.,二、函数的有关概念 1函数的定义域、值域 在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量， 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集 2函数的三要素： 、 和 三、函数的表示方法 表示函数的常用方法有： 、 和 四、分段函数 1若函数在其定义域的不
2、同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 2分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数,x的取值范围A,函数值的集合,定义域,值域,对应关系,解析法,列表法,图象法,对应关系,并集,并集,考向一 函数的基本概念,例1,答案 ,2.设集合M=x|0x2，N=y|0y2，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的 有 ( ) A. B. C. D. 解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除，选C.,C,1分式函数中分母 2偶次根式函数被开方
3、式 . 3一次函数、二次函数的定义域均为R. 4yax，ysin x，ycos x，定义域均为R. 5ytan x的定义域为 6函数f(x)x0的定义域为 7实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约,不等于零,大于或等于0,x|x0,8、已知函数f(x)的定义域为D,求函数f g(x) 的定义域,只需 . 9、 已知函数f g(x) 的定义域为D,求函数f(x)的定义域,只需要求,g(x)D.,g(x)的值(xD).,函数的定义域,-常见基本初等函数的定义域,例2,2.(1)已知f(x)的定义域是0,4, 求f(x2)的定义域; f(x+1)+f(
4、x-1)的定义域. (2)已知f(x2)的定义域为0,4,求f(x)的定义域. 解 (1)f(x)的定义域为0,4, f(x2)以x2为自变量, 0x24,-2x2, 故f(x2)的定义域为-2,2.,抽象函数定义域问题,f(x+1)+f(x-1)以x+1,x-1为自变量, 于是有 1x3. 故f(x+1)+f(x-1)的定义域为1,3. (2)f(x2)的定义域为0,4, 0x4, 0x216, 故f(x)的定义域为0,16.,二、基本初等函数的值域 1ykxb(k0)的值域是 . 2yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为 ；当a0且a1)的值域是 5ylogax(a0且a1)的值
5、域是R. 6ysin x，ycos x的值域是 7ytan x的值域是 .,R,y |y0,y |y0,1,1,R,题型二 函数的值域 【例2】求下列函数的值域.,解 (1) 对称轴x= -1,3 , 函数在x= 处取得最小值，即 = 结合函数的单调性知函数在x=3处取得最大值,即 =26. 函数的值域为 ,26,在 0,+)上， 是减函数, 故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-,1 .,(2)令 二次函数对称轴为t=-,当且仅当 ，即 时等号成立， 原函数的值域为,6.数形结合法 如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值 域，形如 ，可联想两点 与 连线的斜率。,7.函数的
6、有界性法 形如y= ，可用y表示出 sinx，再根据 ，解关于 y 的不等式，求出y 的取值范围,8.导数法 设 y=f(x)的导数为 ，由 可求得极值点坐标， 若函数定义域为 ，则最值必定为极值点和区间端点中函 数值的最大值或最小值,9、分离常数法,函数解析式的求法,(1)若f(x1)2x21，则f(x)_；,换元法，设t=g(x),解出x,代入fg(x)，得f(t)的解析式即可,拼凑法，对fg(x)的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可,(2)若2f(x)f(x)x1，则f(x)_；,解：设f（x）=ax+b（a0），则 3f（x+1）-2f（
7、x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17， a=2，b=7，故f（x）=2x+7.,(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1) =2x+17，求f（x）；,待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式,根据特殊值，确定相关的系数即可,探究提高 求函数解析式的常用方法有:(1)代入法， 用g(x)代入f(x)中的x,即得到fg(x)的解析式； (2)拼凑法，对fg(x)的解析式进行拼凑变形， 使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有 “g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入 fg(x)，得f(t
8、)的解析式即可；(4)待定系数法， 若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式,根 据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变 量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.,（1）已知,（2）已知f(x)满足2f(x)+ =3x,求f(x). (3)设f(x)是R上的函数，且f(0)=1,对任意x，yR 恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的表达式.,知能迁移2,（1）已知,(3)设f(x)是R上的函数，且f(0)=1,对任意x，yR 恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的表达式. 解 （3）方法一 f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）， 令y=x，得f（0）=f（x）-x（2x-x+1）， f（0）=1，f（x）=x2+x+1. 方法二 令x=0，得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,再 令y=-x,得f(x)=x2+x+1.,补充说明,定义域、值域的综合应用,(12分)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)xx2. (1)求x0时，f(x)的解析式； (2)是否存在这样的非负数a，b，当xa，b时，f(x)的值域为4a2,6b6？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由 思路流程,
