电能质量分析的数学基础

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1、电气化铁路电能质量与综合控制技术,西南交通大学电气工程学院,2.1 概述 电能质量分析计算涉及对各种干扰源和电力系统的数学描述。 主要方法 时域仿真方法 频域分析方法 基于变换的方法 瞬时无功功率 矢量变换理论,第二章 电能质量分析的数学基础,一、 时域仿真方法,1. 地位（最广泛）、主要用途（研究暂态现象） 2. 目前较通用的时域仿真程序 系统暂态仿真程序（EMTP, EMTDC, NETOMAC, MATLAB中的电力系统工具箱） 电力电子仿真程序（SPICE, PSPICE, SABER等） 3. 采用时域仿真计算的局限性 仿真步长的选取决定了可模仿的最大频率范围 模拟开关的开合过程时，

2、可能会引起数值振荡,4. 采用时域仿真的意义 利用电磁暂态仿真程序对用以改善电能质量的电力电子设备及其控制策略进行仿真分析，将成为这些时域仿真程序在电能质量应用中最有发展前途的方向。 由于EMTP等系统暂态仿真程序的不断发展，其功能日益强大，还可利用它们进行电力设备、元件的建模和电力系统的谐波分析。,二、频域分析方法,1. 主要用途（研究稳态谐波问题） 2. 具体内容 频率扫描 谐波潮流计算（与基波潮流计算方法类似）, 主要用途 分析稳态和暂态电能质量问题 分类 傅立叶变换方法 短时傅立叶变换方法 小波变换方法,三、基于变换的方法,傅立叶变换方法(Fourier Transform-FT),

3、定义 对非正弦周期信号的时间连续信号用采样装置进行等间隔采样，并把采样值依次转换为数字序列，利用离散傅立叶变换(DFT)和快速傅立叶变换(FFT),借助计算机进行分析。 局限性 虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别从信号的时域和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来。傅立叶变换只能适应于确定性的平稳信号，对时变的非平稳信号却难以描述。,短时傅立叶变换方法(Short Time Fourier Transform-STFT), 定义 加窗傅立叶变换（ Gabor，1946），又称短时傅立叶变换方法，即将不平稳过程看成是一系列短时平稳过程的集合，将傅立叶变换用于非平稳信号的分

4、析。 局限性 由于实际多尺度过程的分析要求时一频窗口具有自适应性，即高频时频窗大、时窗小，低频时频窗小、时窗大，而STFT的时一频窗口则固定不变。因此，它只适合于分析特征尺度大致相同的过程，不适合分析多尺度过程和突变暂态过程。,小波变换方法(Wavelet Transform-WT), 定义 小波分析是一种信号的时间一尺度(时间一频率)分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口面积大小固定不变但其形状可以改变的时频局部化分析方法。 小波分析用于非平稳信号和图像的处理优于传统 的傅立叶变换 小波具有多分辨分析的能力，可以对信号和图像在不同尺度上进行分

5、解，在小波域进行去噪、压缩处理后，作反变换得到去噪和压缩后的信号和图像。,2.2 傅立叶变换与快速傅立叶变换,电能质量分析很重要的方面是对引起电能质量问题的信号进行分析与处理。通过傅立叶变换，就能在一个全新的频率时空来认识信号。 一方面可能使得在时域研究中的较复杂问题在频域中变得简单起来，从而简化分析计算过程；另一方面使得信号与系统的物理本质在频域中能更好地被揭示出来。 傅立叶变换包含了连续信号的傅立叶变换和离散信号的傅立叶变换。,一、非正弦周期信号分解为傅立叶三角级数,周期性电压和电流等信号用周期函数表示为,式中 T基本周期,非正弦周期函数满足狄里赫利条件时可分解为傅立叶级数，而在电气工程中

6、所处理的光滑函数通常都能满足这个条件。,(2-1),傅立叶级数的三角级数形式为,(2-2),(2-3),周期函数的角频率，,谐波次数,也可写成,式中,比较式(2-2)和式(2-3)，对h次谐波可得出下列关系,利用三角函数的正交性，可求得,、,、,为,从上面分析可知，傅立叶级数展开结果是离散的傅氏系数组合。,二、连续傅立叶变换,设 为一连续非周期时间信号，若满足狄里赫利条件及,(2-5),那么，,的傅立叶变换存在，并定义为,(2-6),其反变换为,(2-7),是 的连续函数，称为信号f(t)的频谱密度函数，或简称为频谱，它又可进一步分成实部和虚部、幅度谱和相位谱，即 (2-8) (2-9) (2

7、-10) 式中 称为幅度谱， 称为相位谱。从中可知，傅立叶变换的结果是连续频谱。,三、离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform),离散傅立叶变换(简称DFT)的定义： 给定实的或复的离散时间序列 ， 设该序列绝对可和，即满足 ，则 (2-11) 被称为序列 的离散傅立叶变换(DFT)。,序列的逆离散傅立叶变换(IDFT)： (2-12) 式(2-12) 中n相当于对时间域的离散化，k相当于频率域的离散化，且它们都是以N点为周期。离散傅立叶序列是以2为周期，且具有共轭对称性。 式（2-11）和式(2-12)又可表示为 (2-13),四、快速傅立叶变换,1. 定义：利用

8、W 因子的周期性和对称性构造的高效快速算法即快速傅立叶变换算法( FFT)。 2. 作用：FFT使N 点DFT的乘法计算量由N 2次降为 次。 3. 算法分类 针对N 等于2的整数次幂的算法，如基2算法、基4算法和分裂基算法等。 N 不等于2的整数次幂的算法，如素因子算法和Winograd算法等。,时间抽取（DIT）基2FFT算法,对于式（2-12），令 ，M 为正整数。可将 按奇、偶分成两组，即令 及 ，于是 (2-15) 由于式中 ，故式（2-15）又可表示为 (2-16),令 （2-17) (2-18) 那么 (2-19a) , 都是 点的DFT， 是 点的DFT，因此单用式（2-19a

9、）表示 并不完全。但由于 (2-19b) 这样用 、 就可完整表示 。前 点用式2-19a表示，后 点用式2-19b表示。,时， 、 及 的关系如图2-1所示。 图2-1 N=8时 、 及 的关系,由以上分析可见，只要求出 区间内各个整数值所对应的 、 值，即可求出 区间内的全部 值，这一点恰恰是FFT能大量节省计算的关键所在。 一个 点的DFT分解为两个 点的DFT后，计算全部 共需 次复数乘法和 次复数加法，而直接计算 点 的DFT需要 次复数乘法和 次复数加法，由此可见，仅仅作了一次分解，即可使计算量差不多节省了一半。,既然这样分解是有效的，由于 ， 仍然是偶数，所以可以进一步把每个 点

10、子序列即 和 再按其奇偶部分分解为两个 点子序列。可按上述方法继续加以分解，则 和 可分别表示为 (2-20a) (2-20b),同理可得 (2-20c) (2-20d),若,，这时,无需再分，即,上述过程可用图2-2表示。,图2-2 8点FFT时间抽取算法信号流图,图2-3 第m级蝶形单元,基本运算单元如图2-3所示。,推广到 点的DFT的一般情况，不难看出，第 次分解的结果是由 个 点的DFT两两组成共 个 点的DFT。 由于 ，通过 次分解后，最终达到了 个两点DFT的运算，从而构成了由 到 的 级运算过程。 其迭代过程如图2-4所示。,图2-4 N点基2FFT的M级迭代过程（ ）,2.

11、3 采样定理与频谱混叠,假定连续函数 ，其傅立叶变换满足 若单位脉冲抽样函数的抽样间隔 或 者 ），则 唯一地由 决定： (2-21),证明： 的傅立叶变换为 由假定 可知 ，这时 的谱是 分离的。如果采用一个矩形谱 与 相乘，仅保留 之间的谱，使之恢复到原来的谱 ，要求 满足： 从而有：,已知 根据卷积定理有 令 ，则,对于抽样定理给予如下几点说明： （1）如果抽样间隔 ，即 ， 的谱发生混叠，这时就无法分出 ，即不可能由 唯一地决定 。频率 称为奈奎斯特（Nyquist）频率。 （2）如果 不满足傅立叶逆变换公式,即 在整个频率域中都有值，那么不论取 如何小， 的谱总是混叠的。若 随 增大

12、而很快衰减，这时取 足够小时，可使混叠减少到允许的误差范围以内。,（3）从物理上可对抽样定理作如下解释：一个频带受限制信号，不可能在很短的时间里产生独立的、实质性的变化，它的最高变化速率受它的最高频率 控制。为了保留这个频率的全部信息， 一个周期内至少要抽样两次，即要求 。,采样频率,至少是原信号最高频率,以上，即,，采样才能正确地表述原信号,的2倍,的信息。,原因如下。,由离散傅立叶变换式系数 的共轭对称性， 即 ，可以看出 ，即幅频特 性是与纵坐标轴对称的。由 的周期性，即 ，及 ，可以看 出 ，即幅频特性为周期性的 偶函数。当采样点数为N时，由离散傅立叶变换式仅给出N/2个频谱分量的数值

13、。例如选取每周期128个采样点时，只能得到64个及以下的谐波幅值。,由图2-6可见，当采样频率低于奈奎斯特频率( )时，原信号中高于 的频谱分量将会在低于 的频率中再现，即会出现频谱的混叠，会使频谱分析出现误差。,图2-6 频谱混叠现象,为了防止出现频谱的棍叠，可先使原信号通过带宽低于 的低通滤波器，滤去高于 的分量。对这样的信号采样并作离散傅立叶变换，所得频谱不发生混叠。这样原信号中低于 的频率分量能够得到准确的表述，但是在滤波的过程中将会失掉高于 的频率分量:例如对于方波信号，如果不经过低通滤波而对其采样作离散傅立叶变换，则会出现频谱混叠而引入误差;如果经过低通滤波，比如使其只包含7次以下

14、的谐波分量，则再对其采样作16点以上的离散傅立叶变换的频谱分析，便不会出现混叠。但这样已预先在方波中舍去了高于7次的谐波分量。,2.4 小波变换及瞬态电能质量扰动辨识,一、连续小波变换 定义1 设 ，其Fourier变换为 ，当 满足允许条件 (2-22) 时，我们称为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)。将基本小波 经伸缩和平移后得 (2-23) 称其为一个小波序列。其中a为伸缩参数，b为平移参数。,对于任意函数 的连续小波变换为 (2-24) 其重构公式为 (2-25) 由于基本小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应满足一般函数的约束条件 (2-26) 故是一个连续函数。为了满足完全重构条件式(2-34 )，在原点必须等于0, 即 (2-27),二、离散小波变换,伸缩参数a和平移参数b为连续取值的小波变换是连续小波变换，主要用于理论分析方面。在实际应用中，需要对伸缩参数 a 和平移参数 b 进行离散化处理，通常选取 ， ，这里m，n是整数，是大于1的固定伸缩步长，且与母小波的具体形式有关。这种离散化的基本思想体现了小波变换作为“数学显微镜”的主要功能。 选择适当的放大倍数，在一个特定的位置研究一个函数或信号过程，然后再平移到