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1、,微积分,一元函数： 极限，导数，微分，不定积分，定积分,多元函数： 极限，偏导数，全微分，二重积分,应用：几何应用，经济应用，微分方程,第1章 函数 (复习),函数概念,函数性质,函数的复合与分解,初等函数,成一无盖容器，写出体积与小角边长的关系,一、几个实例,【例1】将边长为 10 cm 的正方形铁皮剪去四角折,【解】,V,x,10 - 2x,x ：自变量， V: 因变量,x 的取值范围 ( 0, 5 ) 称为定义域,若考虑极端情况，则定义域为 0, 5 .,确定一个函数的两大要素：,例如：,对应法则,定义域,【例2】求 的定义域,【解】,区间形式：,集合形式：,B,M,M,【解】据对称性
2、只需考虑上半圆周,t = f ( M ) = f ( x, y ),【例3】有一士兵在一半径为 R 的圆形游泳池,中游泳, 当他位于 时听到集合号，,于是必须马上赶回位于 A ( 2R, 0 ) 处的营房，求赶,(设泳速为 ，行速为 ),A,（不能用一个数学 表达式表达）,回营房所花时间t 与上岸点位置 M 的函数关系,函数的表示法,(1)公式法(解析式),分段函数, 参数方程 , 隐函数,(2) 表格法,(3) 图形表示法,例如,出租车车费是距离的函数,可以用表格来表示,(1) 取整函数 y = x,阶梯曲线,【例4】几个特殊函数,是一个分段函数,函数也称为,阶梯函数,表示不超过 x 的最大
3、整数,(2)符号函数,(3) 狄利克雷（Dirichlet）函数,有,1奇偶性,二、几个特性,奇偶性，单调性，有界性，周期性，凹凸性,X = ( l ，l ) or l ，l ,f ( x ) 是 X 上的偶函数,f ( x ) 是 X 上的奇函数,图像具有对称性.,【解】,x 0 时，f ( x ) =,f ( x ),2单调性:,f ( x ) 在 X 上（严格）单调增（减）,例,有界,3有界性:,f ( x ) 在 X 上有界,f ( x ) 在 X 上无界,例 在 R 中有界：,几何上有界函数的特点是： 其图像完全落在 y = M 与y = M 之间的带形区域内,(1) 函数是否有界总
4、是相对于某个区间而言的,(2) 有界函数的界是不唯一的,(3) 若,称 a 为 f ( x ) 在 X 内的下界,若,称 b 为 f ( x ) 在 X 内的上界,结论：f (x) 在X上有界,f (x) 在 X 上既有上界又有下界,例：(1) 在(,)内,(2) 在(,)内,注意,无界.,有界.,4周期性,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,f ( x ) 在 X 上是以 T ( 0 )为周期的周期函数,但并非所有函数都有最小正周期,例如 f ( x ) = 1 无最小正周期,三、函数的复合与分解,y = f ( x ) ：,y = g ( x ) ：,y = f g ( x ) ,
5、y = g f ( x ) ,由于函数的依赖关系与自变量符号无关，故一般写成：,y = f ( u ) , u = g ( x ) 或,得到 y = f g ( x ) ，u 称为中间变量,由两个或更多个函数复合而成的函数叫复合函数,推广 设,则有,(1) y = f g ( x ) 有意义的条件为：,y = f ( u ) 的定义域,u = g ( x ) 的值域,有交,例：,可复合成,复合成,无意义,(2) 复合函数的分解：,例： 可分解为：,注意：,【例1】 f ( x ) 的定义域为-1, 1，求 f (2x) + f (x+1)的,【解】,f ( 2 x ) 的定义域为 ：,f (
6、x + 1 ) 的定义域为 ：,取交集得所求函数定义域为 ：,定义域,【例2】设,【解】,求 f g ( x ) .,f g ( x ) =,思考：g f ( x ) = ?,【例3】已知 ，求f ( x ) ,【解】,令 ，则,从而,四、反函数,y = f ( x ) 与 互为反函数，在同一平面直,角坐标系中表示同一条曲线,反函数,反函数,函数 y = f ( x ),例,解：,数,设 为 数,数,例,解：,数,设 为 数,数,基本的反三角函数,反三角函数之间的关系,一般解,1、幂函数,五、初等函数,2、指数函数,3、对数函数,4、三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,
7、余割函数,5、反三角函数,由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算,构成的函数称为初等函数 .,例,都是初等函数但,不是初等函数,涉及到的非初等函数,分段函数，参数方程，隐函数,变上限积分,函数项无穷级数的和函数,特殊函数：双曲函数,双曲正弦函数 sh x =,双曲余弦函数 ch x =,(2) 这些函数与双曲线的几何关系同三角函数与圆,(3) 反双曲函数,说明,(1) 双曲函数满足关系式：,的关系很相似,六、邻域,是一个开区间,包含点 的任一开区间称为点 的邻域，记作 ,1 点 的邻域:,2点 的 邻域:,为中心，为半径,3点 的去心 邻域:,例如 (-2, 4 ) = ( 1, 5 )
8、=,N (1, 3),N (3, 2),* 极坐标系的建立：,在平面内取一个定点O，叫做极点。,引一条射线OX，叫做极轴。,再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个极坐标系。,O,建立了极坐标系的平面称为极坐标平面。,七、极坐标,*极坐标系内一点的极坐标的规定,对于平面上异于极点的任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示以OX为始边、OM为终边 的角度。 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序实数对（，）就叫做M的极坐标。记作M （，）。,特别规定： 当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。,对于 0，时,1作射线OP，使XOP= ,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM= ,那么点M就是极坐标为（，）的点。,*极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1给定极坐标M（，）,在平面上可以确定唯一一点。,2给定平面上一点，却有无数个极坐标。,特别的，极点（0，），取一切实数。,问题：如何规定、的范围，使平面内确定的一点的极坐标是唯一的？,0， 0，2）时点的极坐标与平面上的点一一对应（极点除外）。,极坐标转换为直角坐标公式：,直角坐标转换为极坐标公式：,圆,圆,圆,四叶玫瑰线,四叶玫瑰线,三叶玫瑰线,三叶玫瑰线,
