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1、用数学建模方法进行离合器片缠绕工艺的设计,吉林大学 方沛辰,这是生产中的一个实际问题，生产缠绕式离合器片的缠绕工序 简要描述如下：一个在凸轮控制下作水平往复运动的喷头不断 喷出涂了生橡胶的玻璃纤维丝，铺放在匀速转动的一个圆环胎盘中。当玻璃纤维丝达到总长度时停止，以后在高温高压下固化成型，即得到一个缠绕式离合器片。,除了电机、减速器等传动机构、进料机构、固化成形机构和机 架等可常规设计实现外，这个工艺设计的首要问题是考虑曲线 铺放在胎具中的形状，进而形成对凸轮的设计，而这也是工艺 设计中的核心问题。,从使用角度看，离合器片应是很平的环形片状，显然密度要均 匀，即要求丝铺设均匀（一种描述就是单位面
2、积重量相同）， 又满足一定的力学条件（例如剪应力、疲劳强度等等），这就 需要玻璃纤维丝在环内不断交叉，形成网状。,从简化凸轮设计的角度看，整条曲线应分为若干形状完全相 同的段，即曲线应有周期，并且在每个周期中曲线应与内、 外圆至少各相交一次。习惯上，称一个圆周中的周期个数为 花瓣数，经验上看花瓣数至少为2。,我们用数学语言来明确描述这个问题：,即在一个平面环形（内半径为1，外半径为2）区域中自环内 某点开始出发作一条曲线，要求曲线满足条件：,(1)连续，总长度为L=600左右；,(2)设曲线从内圆上某点开始，波动式地在环形内缠绕，具 有周期性，花瓣数至少为2；,(3)曲线间必须是相交的，且多次
3、相交，还不许重复；,(4)在每个周期内必须和内圆、外圆至少各相交一次；,(5)要求圆环内任何位置，单位面积中所含各条曲线的总长度 尽量相同，即分布均匀；,(6)尽量简单，便于实现。,这样我们就把设计离合器片加工工艺的问题，转化为一个满 足以上六条要求的曲线的设计问题。以上六条可以看做继续 开展的模型假设。,分析：以上六条除第五条外，都容易实现，可以看做约束条 件。而问题的中心是设计曲线形状使生产出的离合器片实现 单位面积重量相同，即密度在各个方向上均匀。这是一个二 维问题，由于是在环形区域里，故采用极坐标较方便。两个 方向分别为径向和圆周方向，显然只要曲线在这两个方向上 都均匀就实现了单位面积
4、重量相同。下面分别从这两个方向 上着手来解决问题。,（一）径向方向的均匀问题,在曲线上任何一点（r，）处考察角度d内的一段曲线，此 时径向均匀问题就是单位面积内的曲线长度相同而与r无关， 亦即d中的曲线长度ds与面积1r之比为常数c（c1）即,r d,r d,r d,图1.曲线上任何一点的弧长增量分析,下面设计曲线的准确形状。,（1）如果从始至终地采用一条对数螺线，曲线始终不相交， 与条件3矛盾，不符合离合器片的工艺要求。 （2）只能分段使用对数螺线，相邻两段对数螺线应相交在与,记 此微分方程的通解为:,这是对数螺线，其中a，b为待定常数。,内、外圆交点处，交点处应出现尖角，但是在实际生产中由
5、于 玻璃纤维丝有一定的弹性，交点处必然会出现光滑连接，从而 引起误差，只能近似地实现径向均匀。我们在曲线设计时采用 分段对数螺线，而不用过多考虑尖角，至于剩下的问题通过凸 轮形状设计去处理。,再讨论分段的方法.,由条件1与条件5，取,构成曲线的一个周期，其中k为花瓣数，k=1，2，。那么曲线的周期为T/k， ， 。,考虑到采用分段对数螺线的方法必然有误差的问题，而k越小周 期越长，曲线越平坦，在与内、外圆相交处尖点变化趋势就越小 从而误差越小。联系到花瓣数要求至少为2，我们取k=2的曲线为 设计曲线。再注意到为了避免曲线重复，T/k不能选定为的整数 倍，因此可以取 （以后定）作为周期。,（3）
6、a、b的确定。因曲线从（1，0）点出发开始，故得b=1；a的 选择使曲线在半周期 时达到最大值2，即曲线过（2， ）。,那么每个周期曲线形状为,就这样，我们不断地引入参数又不断地确定参数从而实现设计。,确定参数是要有一定道理的，a和b是解方程，而k和T是设计的， 现在还不确定，尽管我们可以随便给它一个值，但还是保留 这个机会，可能用确定它来解决某个矛盾。这就是设计的思想。,（二）圆周方向均匀的问题。,考虑圆周方向均匀的问题，等价为在1与2之间任取一r为半径 的圆与所有曲线的交点是否均布在圆周上。由对称性，可只考 虑所有的曲线的上升段。进而只要设计好曲线的总长度结束时， 曲线正好回到出发点即可。
7、 设总长度对应着2n个周期，开始曲线从（1，0）点出发，1个周 期后，曲线从（1，-2 ）开始，2个周期后曲线从（1，2 -4 ）开始，2n个周期后，曲线再回到（1，0）点，按 前面的规律即是（1，2n-4n）。只要曲线的周期固定在- 2 上，那么每两条相邻的同向曲线间隔相同，这样就满足了圆周 方向的均匀性。下面我们来求n与。,记曲线每个周期长度为2l，即上升段长度为l，从而有,（1） （2） （3）,利用这三式可以联立解出整数解n与。,由于值很小且它的变化对l影响很小，因此方法可以是先 令 =0利用（3）求出l，再用（1）求出整数n，再用（2） 求 ，然后迭代几次最终确定n与，实际迭代只需两
8、次。,一种简单求解的办法就是迭代法。,再迭代下去n=61已不变，说明这已是最后解，此时总长为596.1。,满意度函数的处理,近几年的全国大学生数学建模竞赛中，不断遇到有满意度函 数的问题。这是因为优化问题需要目标函数，许多问题是服 务性质，追求高质量的服务就要建立一个恰当的满意度函数， 然后对这个函数求最大值。,满意度应该规范化成0到1之间的一个数。没有接受服务取0， 接受到最好的服务取1，函数应该单调，这些是最起码的要求。 找一个方案把问题问题解决-雪中送炭； 在各种方案中选最好的-锦上添花。,可能的几种类型方案（另外还可能有跳跃）,1.高考被录取的志愿位置-录取是重要的，第一与第二差不多；
9、 2.体育比赛的名次-两块银牌能不能相当一金一铜？ 3.乘公交车的位置,2001年 B题 公交车调度 公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城 市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益， 都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数 据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。 该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给出的是典 型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司 配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在 该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客候车时 间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不 应超过 120%，一般也不要低于50%。 试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日） 的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆 车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益； 等等。 如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解 模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案， 应如何采集运营数据。,
