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1、1.1将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长 =670.8nm，这是Li原子由电子组态 跃迁时产生的，试计算该红光的频率，波长以及以kJ/mol为单位的能量。,解,第一章 量子力学基础知识,1.3金属钾的临阈频率为5.4641014s-1，用它作光电池的阴极，当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射的光电子的最大动能是多少？,解,1.4 计算下述粒子的德布罗意波的波长： （1）质量为10-10kg，运动速度为0.01ms-1的尘埃； （2）动能为0.1eV的中子； （3）动能为300eV的自由电子。,解 根据德布罗意关系式： （1） （2） （3）,1.7子弹（质量为0.01kg，速度为100
2、0ms-1）、尘埃（质量10-9kg，速度10ms-1）、作布朗运动的花粉（质量10-13kg，速度1ms-1 ）、原子中电子（速度1000ms-1）等，速度的不确定度均为速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义。,解 按不确定度关系，诸粒子坐标的不确定度为：,电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度 为速度的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？,解：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为： 这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子
3、运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。,1.8,根据不确定度关系 （1）将下列微粒按最小速度的不确定度 增加的顺序排列起来：（a） 分子中的电子，（b） 中的H原子，（c）C原子核中的质子，（d）纳米管中的 分子，（e）5m宽箱中的 分子。 （2）计算（a）和（e）中粒子的 。,解（1）不同粒子的质量m的数值约为（a）电子 ， （b）质子 ，（c）H原子 ，（d） 分子 ，（e） 。 的数值约为： 分子 ，C原子核 ，纳米管 ，5米箱5m。 从 出发，考虑 。 可按下式估算： 由小到大的次序为： （2） （a） 分子中的电子 为,1.10,（2） （e）5米箱中的 分子,是
4、算符 的本征函数，求本征值。,解：应用量子力学基本假设（算符）（本征函数， 本征值和本征方程），得：,因此，本征值为 。,1.11,下列函数哪几个是算符 的本征函数？若是， 求出本征值。,解：,1.12,是否为本征函数？若是，求出其本征值。,解：,1.13,已知一维势箱中粒子的归一化波函数为： 式中 是势箱的长度，x是粒子的坐标（0x ）。 计算： （a） 粒子的能量； （b） 粒子坐标的平均值； （c） 粒子动量的平均值。,1.15,解：(a) 由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用下列两种方法计算粒子的能量：,将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：,即,将动量平方的算符
5、作用于波函数，所得常数即为：,即 将此式代入粒子的能量表达式，得：,若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量： 解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解过程中会自然得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、段连云编著结构化学基础第二版，p27，北京大学出版社）。若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变分法的思路，选 为变分函数，用式：,进行计算，所得结果是上述能级表达式计算所得结果的1.0132倍。, 根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱中粒子的边界条件 ，箱长应该等于半波长的整数倍，即： 将此式代入de Broglie 关系式，得： 将此式代入粒子能量的
6、一般表达式，得：,可根据一维箱中粒子的能级表达式，分析En及En随n,m及 等的变化关系，从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。,（b）由于 无本征值， 只能求粒子坐标的平均值：,粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为0.5，即 图形对势箱中心点是对称的。,(c)由于 无本征值.可按下式计算 的平均值。,1.17 链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。,解：4对电子，形成 离域键。,18一个粒子处在a=b=c的三维势箱中,试求能级最低的前五个能量值以h2/（8ma2）为单位。计算每个能级的简并度。,解：质量为m的粒子在边长为a的立方势箱中运动，其能级公式为： 能级最低的前五个能量（以h2/（8ma2）为单位）依次为： E111=3 E112=E121=E211=6 E122=E212=E221=9 E113=E131=E311=11 E222=12,19若在下一离子中运动的电子可用一维势箱近似表示其运动特征： 估计这一势箱的长度l=1.3nm，根据能级公式En=n2h2/8ml2估算电子跃迁时所吸收的波长，并与实验值5100nm比较。,解：该离子共有10个电子，跃迁所需最低能量为第五和第六两个分子轨道的能级差。,
