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1、1,第六章 测量误差基本知识,杨 正 丽,四川大学水利水电学院,2,本章内容,6.1 概述 6.2 测量误差的分类及处理原则 6.3 偶然误差的统计特性 6.4 衡量观测值精度的指标 6.5 误差传播定律 6.6 同精度观测直接平差 6.7 加权平均值及其精度评定 6.8 最小二乘法原理及其应用,3,D往 D往,A+B+C180,第六章 测量误差基本知识,4,6.1 概述,不等精度观测:观测条件不同的各 次观测，其结果具有不同精度。,等精度观测:观测条件相同的各次观测，其结果具有相同精度。,6.1.1 观测与观测值定义,6.1.2 观测与观测值的分类,通过一定的仪器工具和方法对某量进行量测，称
2、为观测，所获得的数据称为观测值。,等精度观测与不等精度观测,直接观测和间接观测,独立观测和非独立观测,5,1.观测误差的定义 指被观测值(或其函数)与未知量的真实值(或函数的理论值)间的差值。 观测误差=观测值-真值 一般用符号表示。即：= L观 L理 =L-X,6.1.3 观测误差及其产生的原因,真值：代表观测值L 真正大小的数值，用 X 表示。,真误差: 观测值 L 与真值 X 之间的差值，用表示。 = L X,6,测量工作的目标并不是简单地使测量误差越小越好，而是要在一定的观测条件下，设法将误差限制在与测量目的相适应的范围内。 通过分析测量误差，求得未知量的最合理、最可靠地结果，并对观测
3、成果的质量进行评定。,6.1.4 研究测量误差的指导原则,7,2. 观测误差产生的原因 人（观测者） 仪器 外界环境,观测条件,读数误差,刻划不均匀误差,大气折光误差,8,6.2 测量误差的分类及处理原则,1、系统误差,2、偶然误差,3、粗差,9,系统误差：在相同观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同或者具有一定的规律性。,S = 0.04 N,= L+0.04 N,系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱.,10,偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，在表
4、面上看没有任何规律性；但就大量的误差而言，具有一定的统计规律。,偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处理，可以求得参数的最可靠值.,11,粗差：由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差。,在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。,误差处理原则 测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测值的最可靠值。,12,三角形内角和真误差:,【例】在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。,6.3 偶然误差的统计特性,13,误差分布表,14,0
5、,+3,+6,+9,+15,+12,+21,+18,+24,+27,-27,-21,-15,-9,-3,-24,-18,-12,-6,频率直方图,15,有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限值；,抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值 趋近于零。即,集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的 概率大；,对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；,其中,3.偶然误差的四个特性,16,误差分布曲线：,0,标准差：,正态分布,方差：,精度：一组观测值误差分布的密集或离散程度。,17,6.4 衡量观测值精度的指标,一、中误差,标准差,中误差,是反映一组
6、误差离散程度的指标。,18,观测精度（高、低）,曲线形态（陡峭、平缓）,具体的数值（小、大）,19,举 例,【例】同精度下对某一三角形进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形闭合差分别为（单位：）：+3，-2，-4，+2，0，-4，+3，+2，-3，-1。,另一台仪器的结果（单位：）：0，-1，-7，+2，+1， +1， -8， 0， +3，-1。,20,精度(precise) 和 准确度(accuracy),Accurate and precise,Inaccurate and imprecise,21,二、相对误差,【例】分别丈量了 S1=200m 及 S2=40m 的两段距离，观测值的
7、中误差均为2cm，试比较两者的观测成果质量。,相对误差K : 中误差的绝对值与观测值之比，用分子为1表示,S1的丈量精度高于S2的丈量精度,22,三、极限误差,允许误差：,23,6.5 误差传播定律,问题的提出： 在上节介绍了对于某一个量直接进行多次观测，计算观测值的中误差。许多未知量是不能直接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误差而去求观测值函数的中误差呢？,24,一、一般函数的中误差,25,26,例：测得某块地的长a=10m，宽b5m，a、b独立，且 ma 2cm，ma 1cm，求该块地的面积及中误差。,27,例：设有函数 z=Ssin,解：,28,例：设有函数：
8、Z=X+Y ， Y=3X,解：,注：由于X和Y不是独立观测值,29,总 结,应用误差传播定律求观测值函数的中误差时， 可归纳以下几步：,1、列出函数式,2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真 误差的关系式,4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式,3、独立性的判断,注意单位的统一,30,误差传播定的几个主要公式：,31,6.6 同精度观测直接平差,一、 算术平均值,在相同的观测条件下，对某个未知量观测了n 次，观测值为L1，L2，Ln，求该未知量的最或然值。,设未知量的真值为X，则观测值的真误差为：,算术平均值：,当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近该量的真值,32,二、
9、观测值的改正值,三、按观测值的改正值计算中误差,在相同的观测条件下对某一量进行多次观测，则观测值为同精度观测值，其中误差为：,（白塞尔公式）,四、最或是值的中误差,算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍,误差传播定律,33,两式分别 相减得：,上式各取其总和，并顾及v=0,得,取其平方和，顾及v=0得,34,例：对某段距离同精度测量了4次：,试求该段距离的算术平均值值及观测值中误差。,解：,35,对某个未知量X, 不等精度观测：,1、如何求X的最或是值x？ 2、如何求观测值Li的中误差？ 3、如何求最或是值x的中误差？,36,6.7 加权平均值及其精度评定,一、不等精度观测及观测值的权,对某
10、个未知量进行了n 次不等精度观测：L1，L2，Ln，其中误差为m1，m2 mn，求该未知量的最或是值。,式中：C为任意正数,当观测值Li的中误差为m0时，相应Pi1，称为单位权观测值， m0为单位权中误差， Pi为单位权,37,权的特性 权是衡量观测值之间相对精度的指标 一组观测值只能取同一个C或者 m0,例 对某角作三组同精度观测： 第一组测2次，算术平均值为L1,第二组测4次，算术平均值为L2,第三组测6次，算术平均值为L3,设每次观测值的中误差为m0,38,二、加权平均值,三、加权平均值的中误差,39,四、单位权中误差的计算,40,任何一种测量,其观测结果都会存在误差(主要考虑偶然误差)
11、的影响,由于这种误差的影响,使得对同一量进行多次观测所得的结果都不会相同,也不等于理论数值。 测量数据处理的任务： “消除矛盾”，求出观测量的最或然值（平差值） 评定精度,6.8 最小二乘法原理及其应用,41,1、最小二乘原理 存在矛盾如何消除，采用什么样的原则消除才是合理的，这就是数据处理的原则，即最小二乘原理。所谓最小二乘原理，就是在使各个改正数的平方和为最小值的原则下（即VV=或PVV最小），来求取观测值的做或是值，并进行精度评定。 VV=V12+ V22 + V32 + + Vn2 =min PVV=P1V12+ P2V22 +P3 V32 + +Pn Vn2 =min,42,二、最小
12、二乘原理的应用,根据对同一个量的多次观测结果，确定最或然值并评定精度的过程，称为直接平差。 1.算术平均值直接平差 设 L1, L2, Ln 为一组独立观测值，根据最小二乘准则，其最或然值 x 必须满足： vv=(x - L1 )2+ (x - L2 )2+(x - Ln)2=min 求vv 对 x 的一阶和二阶导数：,二阶导数大于零，说明函数是凸函数，有最小值,43,这说明，在等精度观测条件下，未知量的最或然值就是算术平均值。或者说，算术平均值是满足最小二乘准则条件下，等精度观测值的最或然值。,44,2.加权平均值直接平差 一列观测值L1，L2，Ln,，其精度值分别为m1,m2,mn，选定一个精度值m,并同时选定一组正数p1,p2,pn，使得下列诸式同时成立：,根据最小二乘准则，应使pvv=min，即： pvv=p1(x-L1)2+ p2(x-L2)2 +pn(x-Ln)2=min,二、最小二乘原理的应用,45,这就是不等精度观测时未知量的最或然值，也就是说，不等精度观测值的最或然值是加权平均值。,
