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1、1,5.2 一阶微分方程,主要内容: 1.可分离变量的微分方程 2.齐次型微分方程 3.一阶线性微分方程,2,一、可分离变量的微分方程,1. 定义,其中f(x),g(y) 分别是 x ,y 的连续函数,2.分离变量法,把方程中的两个变量分离开来，使方程的一边只含有 y 的函数及dy，另一边只含有 x 的函数及 dx，然后两边积分，从而求出微分方程的解 这种方法称为分离变量法,形如 （1） 的一阶微分方程，叫做可分离变量的微分方程.,3,3步骤,(1)分离变量，得,(2) 两边积分，得,(3) 求得积分，得,4,解,分离变量，得,两边积分，得,得方程的通解为,例1,5,例,解,分离变量，得,两边
2、积分， 得,化简，得,于是所求微分方程的特解为,原方程可化为,6,二、齐次型微分方程,1. 定义,称为齐次型微分方程,因为方程可化为,7,2解法,在方程 ( 2 ) 中，引进新的未知函数,代入方程(2)，便得可分离变量方程,即,两边积分，得,求出积分后，,即得所求齐次型微分方程的通解,8,例3,解,原方程可化为,它是齐次型微分方程,代入原方程，得,分离变量，得,两边积分，得,即,这就是所求微分方程的通解,9,三、一阶线性微分方程,1、定义,方程（3）称为一阶线性非齐次微分方程,方程（3）称为一阶线性齐次微分方程,10,2、一阶线性齐次微分方程的通解,显然，方程（4）是可分离变量方程,分离变量后
3、，得,两边积分，得,这就是一阶线性齐次微分方程(4)的通解公式,注意,11,3、一阶线性非齐次微分方程的解法常数变易法,(5),由方程特点，设一阶线性非齐次微分方程的通解为,对（5）式求导得,(6),将(5)和(6)代入方程(3)并整理得,由此可得,将上式代入(5)式，得一阶线性非齐次微分方程的通解为,(5-2),12,公式中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的一个原函数,这种通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解的方法称为常数变易法,公式(5-2)也可写成下面的形式,(7),由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通
4、解之和,注意:,13,例4,解1 (常数变易法),用分离变量法求得它的通解为,将上式中的任意常数C 换成函数C(x) ，即设原方程的通解为,（8）,则有,两边积分，得,再代入（8）式，即得所求方程的通解为,14,解2 (公式法),代入公式（5-2），得,15,例5,解,用分离变量法求得它的通解为,用常数变易法，设非齐次方程的通解为,两边积分，得,因此，非齐次方程的通解为,故所求微分方程的特解为,16,例6,解,于是由一阶线性非齐次方程的通解公式，得,这就是所求微分方程的通解,17,四、小结：,1.可分离变量的微分方程的特点、解法；,2.齐次型微分方程的特点、解法；,3.一阶线性微分方程的解法,其中一阶线性齐次方程的通解公式,一阶线性非齐次方程的常数变易法和通解公式.,作业:,习题52 （2）（4），3（3）4（1）, 5（3）（4）6（2）,
