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1、,第2章,二 、收敛数列的性质,三 、极限存在准则,一、数列极限的定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2章数列与极限,2.1数列的极限,定义2.1.1,按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数,叫做数列.,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束,记作,或,叫做数列的项，第n个数叫数列的第n项或通项,并把每个数,若令,则可以看出，数列实际上是自变量取正整数的函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.1.1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,如果存在正数，使得对一切正整数n,都有,则称 为数列 下界；（b为数列 上 界）.,单调数列：,单调增加数列：,单调减少数列：,有界数列：一
2、个数列,如果存在正数，使得对一切 正整数n都有,则称数列 有界；否则称之无界.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.1.1 数列极限的概念,对于数列我们研究的主要问题是观察一般项随着n 的增大的变化趋势,一般项随着n的增大趋于0.,一般项随着n的增大趋于0.,一般项随着n的增大趋于2.,一般项随着n的增大不趋于某一数.,一般项随着n的增大无限增大.,定义2.1.2,设数列,及常数 a ，如果对于任意给定,当 n N 时,有,记作,此时也称数列 收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,正数 ，总存在正整数N，,例2.
3、1.2 已知,证明数列,的极限为2.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.1.3. 设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 则当 n N 时,就有,故,的极限为 0 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.1.2 数列极限的性质,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,定理2.1.1. 收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,机动 目录 上
4、页 下页 返回 结束,定理2.1.2. 收敛数列一定有界.,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,虽有界但不收敛 .,有,数列,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.1.3. 收敛数列的保号性.,若,且,时, 有,证:,对 a 0 ,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.2 函数的极限,1.,时函数的极限,引例. 测量正方形
5、面积.,面积为A ),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度 ,要求,确定直接观测值精度 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2.2.1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,这表明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,时函数的极限,例2.2.1. 证明,证:,欲使,取,则当,时 , 必有,因此,只要,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.2.2. 证明,证:,故,取,当,时 , 必有,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定
6、义2.2.2左极限与右极限,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,( P38 题8 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.2.3. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解:,因为,显然,所以,不存在 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,定义2.2.3 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A 为函数,例2.2.4. 证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.2.2 函数极限的性质
7、,定理2.2.1.（极限的唯一）收敛数列的极限唯一.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.2.2. （局部有界性）如果,定理2.2.3. （局部保号性）,若,且 A 0 ,则存在,( A 0 ),则存在,有界.,2.3 极限的运算法则,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.3.1 设 则,推论2.3.1,推论2.3.2,2.3.2复合运算法则,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.3.1 极限的四则运算法则,2.4极限存在准则及两个重要极限,由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限 ,例如，,发散 !,夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .,则原数列一定发
8、散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,2. 保号性定理,定理1 . 若,且 A 0 ,证: 已知,即,当,时, 有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,( 0),则存在,( A 0 ),(P37定理3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、极限存在准则,由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限 ,例如，,发散 !,夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .,则原数列一定发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,2.4.1. 夹逼准则 (准则1),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,机动 目录 上
9、页 下页 返回 结束,例5. 证明,证: 利用夹逼准则 .,且,由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 4.2单调有界准则2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.4.6. 设,证明数列,极限存在 .,证: 利用二项式公式 , 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大,大,正,又,比较可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,原题 目录 上页 下页 返回 结束,又,定理 2 . 若在,的某去心邻域内, 且,则,证: 用反证法.,则由定理 1,的某去心邻域 ,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样
10、可证,的情形),思考: 若定理 2 中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设 A 0 ,条件矛盾,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.3.2极限的运算法则,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.3.1 极限的四则运算法则,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时, 有,推论:,(P37 推论),分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明: 当,证:,欲
11、使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证 .,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 函数极限的,或,定义及应用,2. 函数极限的性质:,保号性定理,与左右极限等价定理,思考与练习,1. 若极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,例3,作业 P37 1(4) ; 2(2) ; 5 ; 6 ; 7 ; 9,Th1,Th3,Th2,是否一定有,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,？,*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理),数列,极限存在的充要条件是:,存在正整数 N ,使当,时,证: “必要性”.,设,则,时, 有,使当,因此,“充分性” 证明从略 .,有,柯
12、西 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,任一子数列收敛于同一极限,3. 极限存在准则:,夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,2. 已知, 求,时,下述作法是否正确? 说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故极限存在，,备用题,1.设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，
13、,故,利用极限存在准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,证:,显然,证明下述数列有极限 .,即,单调增,又,存在,“拆项相消” 法,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,
