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变换群和置换群,及Cayley定理,变换群和置换群的概念,变换群,置换群：是一类特殊的变换群,置换的表示 = = =,(1234)(56) = = (132) (1432) = (1423),同构的概念,有些群虽然来源不一样，但从群的代数结构与性质上看，它们是完全相同的，这就引入了同构的概念。,同构映射使两个群的所有代数性质都一一对应,将G中的单位元映射为G中的单位元； 将G中任一元素a的逆元素a-1映射为G中对应元素f(a)的逆元素(f(a)-1； 将G中的子群映射为G中的子群； 保持元素的阶不变：ord(f(a)=ord(a)； 保持元素的可交换性：若ab=ba，则 f(a)f(b)=f(b)f(a)。,总之，两个同构的群，如果不考虑它们的实际背景，而只考虑它们的代数性质，就可以将它们等同起来看作一个群。,例子,正实数关于乘法形成一个群，(R+，x) 实数关于加法形成一个群，(R, +) 这两个群同构，对数映射是一个同构映射。,Cayley定理,定理：任何一个群同构于一个变换群； 任何一个有限群同构于一个置换群。,Cayley定理告诉我们，通过研究变换群和置换群的代数性质，就可以知道其它各种群的代数性质。,
