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1、第四章 微分方程, 积分问题, 微分方程问题,推广,第一节 微分方程的基本概念,一、问题的提出,二、微分方程的定义,解,一、引例,例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y) 处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程 .,设所求曲线方程为 y = y(x) ,则有如下关系式:,将 x = 1 , y = 2 代入上式，解得 :,C = 1 ,故所求曲线方程为,解,例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当 制动时列车获得加速度0.4米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？,设列车在制动后 t 秒行驶了s=s(t) 米 ,则有如下关
2、系式:,代入条件后知,开始制动到列车完全停住共需,列车在这段时间内行驶了,1、微分方程定义,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的基本概念,注意: 在一个微分方程中,自变量,未知函数可以不出现,但未知函数的导数(或微分)一定要出现.,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,（differential equation）,2、微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.,例: 指出下列各微分方程的阶,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.,3、微分方程的解,4、微分方程的解的分类,1) 若
3、微分方程的解中含有独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这解为微分方程的通解(general solution).,2) 用一些条件确定通解中任意常数而得到的解称为微分方程的特解(particular solution).,通解,特解,特解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,3) 用来确定微分方程通解中的任意常数的值的称为定解条件.,一阶微分方程:,二阶微分方程:,定解条件通常也称为初值条件(initial condition).,(或初始条件),过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,5、初值问题 (Cauchy 问题
4、) 求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,所求特解为,思考题,(A) 通解 ； (B) 解，但不是通解 ； (C) 特解 ； (D) 解，但不一定是通解 .,(A) 通解 ； (B) 解，但不是通解 ； (C) 特解 ； (D) 解，但不一定是通解 .,4、已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分,求所满足的微分方程.,4、已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分,求所满足的微分方程.,解 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,补充:,微分方程的初等解法: 初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线;,三、小结,练习,3,2,1,2,
