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1、第3.4节 向量组的极大 线性无关组,线性代数,主要内容:,一等价向量组,二向量组的极大线性无关组,三 向量组的秩与矩阵秩的关系,一、等价向量组,即,（1）自反性：一个向量组与其自身等价；,（2）对称性：若向量组 与 等价，则 和 等价；,（3）传递性： 与 等价, 与 等价，则 与 等价。,向量组的等价关系具有以下三个性质：,(2),则向量组 必线性相关。,推论2,推论3 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。,任意m(mn)个n维向量必线性相关.,二、向量组的极大线性无关组,定义2:,注:,（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.,简称极大无关组。,那么称部分组 为向量组 的一个极大线性
2、无关组。,（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。,（2）A中的任一向量都能由 线性 表示。,例1：在向量组 中，,注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。,基本性质：,例1：在向量组 中，,（1）,（2）,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作,例如： 向量组 的,秩为2。,1. 向量组的秩,注：,（1）零向量组的秩为0。,定理3 等价的向量组有相同的秩。,该逆命题不成立。,2. 矩阵的秩,2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩,把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些 行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被
3、认为由这些列向量组成。,定义4： 矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列秩。,例2：讨论矩阵,矩阵A的行向量组是,的行秩和列秩,是A的行向量组的一个极大无关组,因为，由,即,可知,线性相关。,所以矩阵A的行秩为3。,（1）,矩阵A的行秩为3,可证,矩阵A的列向量组是,而,所以矩阵A的列秩是3。,（2）,矩阵A的列秩是3,问题：矩阵的行秩 矩阵的列秩,引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列）,引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行）,定理4：矩阵的行秩矩阵的列秩,证：任何矩阵A都可经过初等变换变为,形式，,而它的行秩为r，列
4、秩也为r。,又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，,所以，A的行秩rA的列秩,定义5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。,记为r(A),或rankA，或秩A。,综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。,推论1：,矩阵A的初等行变换不改变矩阵A的列向量组的线性相关性和线性组合。,推论2：,n阶方阵A，,即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）,A的n个行（列）向量线性无关,A的n个行（列）向量线性相关,推论3：,1.求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。,2.2 矩阵的秩、向量组的秩、极大线性无关组的求法.,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,2.求向量组的秩、极大线性无关组的步骤.,r(A)=B的非零行的行数,（3）求出B的列向量组的极大无关组,（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为A的极大无关组。,（根据见引理2）,解：,又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组,考虑：是否还有其他的极大无关组？,与,解：设,则B的1，2列为极大无关组，且,2.3 矩阵秩的性质,(1) 等价的矩阵，秩相同。,(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。,(4),当AB=0时，有,（证明在习题课讲）,
