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1、,不定积分,微分法:,积分法:,互逆运算,第四章,二 、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,三 、基本积分表（）,第22讲 不定积分的概念,第4章,一、 原函数与不定积分的概念,1.引例,一质点(质量为 m),沿直线运动 ,问题:,已知,求,在变力,求质点运动速度,由牛顿第二定律,加速度,2. 原函数定义,定义 1 若函数 F (x) 及 f (x)在区间 I 上满足,在区间 I 上的原函数 .,则称 F (x) 为f (x),3. 原函数的个数及原函数之间的关系,（1）若,F (x) 为f (x) 的原函数，,（2）若,F (x)、G(x) 均为f (x) 的原函数，,G(x)=F
2、(x) +C,则,证,结论,问题:,原函数存在的条件?,定理,存在原函数 .,初等函数在定义区间上连续,则必有原函数,4. 原函数存在定理,5. 不定积分定义,的含有任意常数项的,上的不定积分,记作,在区间 I 上，,定义2,原函数,即,被积函数,积分号,积分变量,被积表达式,( C 为任意常数 ).,积分常数,注,？,如,即若,则,6. 不定积分的几何意义,原函数的图形,的图形：,所有积分曲线组成的平行曲线族.,的积分曲线族.,的积分,注,的积分曲线.,曲线族是 f (x) 的,例1,解,例2,解,例3,解,x 0时,在（0, +）内，有：,x 0时,在（0, +）内，有：,例4,设曲线通过
3、点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程,解,所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有,因此所求曲线为,质点在距地面,处以初速,取 x轴 （向上）：运动轨迹处，,初时刻:,初位移:,初速：,设时刻 t 质点位置：,则,(运动速度),(加速度),垂直上抛 ,不计阻,解 (2) 建坐标系.,再由此求,例5,力, 求它的运动规律.,由,知,故运动规律为,由,知,故,(2) 求,二、不定积分的性质,1.不定积分运算与导数,性质1 （互逆运算）,（或微分）运算的互逆关系,2. 线性运算性质,性质2,线性运算推论,则,若,例6,解,( k 为常数),三、 基本积分表（）,积分表（）续1,（或,（或,积分表（）续2,例7,由线性性,例8,小 结,2 套用基本积分公式,（基本积分法）,1 拆项、整理（用分配律、线性性）,分子迎合分母,例9,（有理函数的积分）分子迎合分母,小结,例10,用三角公式变形 分子迎合分母,基本积分表的推广,定理,若,则,其中,是,的任一导数连续的函数.,例8,验证：,备选题. 求下列积分,提示,例2-1,解,例2-2,火车进站时,需要逐渐减速,设火车减速时的,速度随时间的变化为,(公里/分),问火车应在距离站台多远的地方开始减速?,解,火车减速时间为,减速的路程:,减速的总路程,便可以的到:,
