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1、,第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分形式不变性,微分法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元复合函数的求导法则,第十章,一、多元复合函数求导的链式法则,定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有增量u ,v ,( 全导数公式 ),(t0 时,根式前加“”号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定理结论不
2、一定成立.,推广:,1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .,2) 中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,当它们都具有可微条件时, 有,注意:,这里,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,口诀 :,分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导,与,不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,验证解的问题中经
3、常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,为简便起见 , 引入记号,例4. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,二阶偏导数连续,求下列表达式在,解: 已知,极坐标系下的形式,(1), 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题目 目录 上页 下页 返回 结束,已知,注意利用 已有公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理可得,题目 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元复合函数的全微分形式不变性,设函数,的全微分为,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,
4、这性质叫做全微分形式不变性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 .,例 6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2. 全微分形式不变性,不论 u , v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,解答提示:,P111 题10,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P111 题11(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题10-4 P.111 (A) 2; 4; 6; 9; 10; 11(3),(4); 12; 13 ; 14(4) ; (B) 1 ; 5 ; 7 .,例题3,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1. 已知,求,解: 由,两边对 x 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求,解: 由题设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
