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1、第二章,一元函数的微分学,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导 数概念,第二章,引例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、导数的概念,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运动质点的位置函数,在
2、 时刻的瞬时速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求函数,(C 为常数) 的导数.,解:,例2. 求函数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求函数,的导数.,解:,即,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式,是否可按下述方法作:,例5. 证明函数,在 x = 0 不可导.,证:,不存在 ,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,y = f (x),M,
3、x,N,y,.,.,x0,令x0,导数的几何意义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,y = f (x),M,= tan,.,.,x0,令x0,.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 问曲线,哪一点有垂直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点 (0 , 0) 有垂直切线,机动 目录 上页
4、 下页 返回 结束,函数的可导性与连续性的关系,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点,的某个右 邻域内,单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),例如,在 x = 0 处有,定义 . 设函数,有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理. 函数,在点,且,存在,简写为,可导的充分必要条件,是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 求导公式 ;,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导
5、数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 因为,6. 设,存在, 且,求,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,处连续, 且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,7. 设,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
