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1、,七、最大熵谱估计 1、利用最大熵的原则外推自相关函数 2、 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性 八、最大似然谱估计 1、最小方差谱估计 2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系 九、特征分解法谱估计 1、正弦波用退化AR模型表示 2、白噪声中正弦波组合用一特殊的ARMA模型表示 3 、特征分解法谱估计,功率谱估计,十、 Prony谱分析法 1、利用最大熵的原则外推自相关函数 2、 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性 十一、多重信号分类MUSIC 1、最小方差谱估计 2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系 十二、特征分解法谱估计 1、波束形成器 2、特征子空间分析 3 、MUSIC算法及其改进,功率
2、谱估计,一、 最大熵谱估计,1. 利用最大熵的原则外推自相关函数 按照Shannon对熵的定义， 当随机变量X取离散值时，熵的定义为,(4.6.1),式中pi是出现状态i的概率。当X取连续值时，熵的定义为,(4.6.2),式中, p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列, 概率密度函数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性， 最大熵代表最大的不确定性， 或者说最大的随机性。下面我们研究对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。 假设x(n)是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数为,式中,按照（4.6.2
3、）式，x(n)信号的熵为,（4.6.3）,式中det(Rxx(N)表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最大，要求det(Rxx(N)最大。,若已知N+1个自相关函数值rxx(0),rxx(1),rxx(N)，下面用最大熵方法外推rxx(N+1)。设rxx(N+1)确实是信号自相关函数的第N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成的矩阵为,（4.6.4）,它必须是非负定的矩阵， 即,（4.6.5）,将行列式展开，det(Rxx(N+1)是rxx(N+1)的二次函数，该二次函数系数的符号是：(-1)1+N+2(-1)1+N+1=-1，且det(Rxx(N+1)对rxx(N
4、+1)的二次导数是-2detRxx(N-1)，它是负值，负值表示det (Rxx(N+1)对rxx(N+1)的一次导数是减函数，det(Rxx(N+1)作为rxx(N+1)的函数，凹口向下，那么只有一个最大值。为选择rxx(N+1)使det(Rxx(N+1)最大， 解下列方程：,(4.6.6),用数学归纳法，得到,（4.6.7）,上式是rxx(N+1)的一次函数，可以解出rxx(N+1)。继续再将rxx(N+1)代入Rxx(N+2)和det(Rxx(N+2)中，求det(Rxx(N+2)对rxx(N+2)的最大值，得到rxx(N+2); 以此类推，可推出任意多个其它自相关函数值，而不必假设它们
5、为零， 这就是最大熵谱估计的基本思想。,2. 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性,我们已经知道AR模型信号自相关函数与模型参数服从Yule-Walker方程，即,将m1的情况写成矩阵形式：,m0,m=0,式中ai是AR模型系数,i=1, 2, 3, , N, 。在AR模型中,列写齐次方程式,可得,（4.6.8）,及,利用N个参数,由齐次方程组即可解得a1,a2,aN值,再将得到的参数值代入(4.6.8)式,并将它整理成行列式:,可以看出AR模型得到的结果与按最大熵外推rxx(N+1)得到的结果一致，这就证明了当x(n)为高斯分布时的最大熵谱估计与AR模型法是等价的。 上式（4.6.8)是rx
6、x(N+1)的一次函数，由此可解得rxx(N+1)。再用类似的方法求得rxx(N+2)， rxx(N+3)，然后确定功率谱估计。,最大熵谱估计用下式计算信号功率谱：,（4.6.9）,二、最大似然谱估计 、最小方差谱估计 最大似然谱估计是用一个FIR滤波器实现，该滤波器对所关心频率的正弦信号，可以无失真地通过，而对于其它频率的信号，让其频响尽可能地小，亦即将它们尽可能地滤除。此时, 滤波器输出的均方值，就作为信号的功率谱估计。 设实信号用x(n)表示，FIR滤波器系统函数用A(z)表示：,输出y(n)为,(4.6.10),式中,输出信号的均方值为,(4.6.11),上式中T表示转置, H表示共轭
7、转置, Rp=EXXT是Toeplith 自相关矩阵,为求 ,必须先求FIR滤波器的系数。求这些系数的原则是：在所关心频率i处，信号x(n)无失真地通过， 即在i处的传输函数为1：,式中,(4.6.12),另外一个原则是在i附近的频率分量尽量衰减掉，即i处, 滤波器输出y(n)的均方差 最小, 即(4.6.11)式最小, 此时 作为信号x(n)的功率谱估计 。因此, 最大似然谱估计称为最小方差谱估计更为合适，但由于习惯也可以仍称为最大似然谱估计。在以上原则下，使方差 最小的滤波器系数和 分别为30、 31,应该指出,此时 并不是真正意义上的信号功率谱, 只是描述了信号功率谱的相对强度。,2、最
8、大熵谱与最大似然谱估计的关系,伯格证明了最大熵谱PMEM与最大似然谱PMLM估计的关系,从上式可知最大似然谱估计相当于从最大熵谱估计的最低分辨率到最高分辨率的平均，所以最大熵谱估计的分辨率要比最大似然谱估计的分辨率高。但最大似然谱具有更大的统计稳定性，对模型阶数的依赖性要小于最大熵谱估计。另外在最大熵谱估计中提到，它的最大缺点就是求得最佳频率成分后，其相应的振幅值并不代表原来的振幅值，尚须用其他办法来近似确定。通过其他两位同学的介绍，我们知道，频谱估计中，振幅谱常用傅立叶变换（传统法）求得，功率谱可通过振幅谱的平方求得，另外也可通过自相关函数的傅立叶变换求得。随机信号一般只作功率谱估计，所以功
9、率谱估计在谱估计中占有重要地位。它的主要缺点是失去了相位信息，因此光靠功率谱是无法恢复信号的。,三、 特征分解法谱估计,4.7.1 正弦波用退化AR模型表示 无论是实正弦波还是复正弦波，都可以用一个退化AR模型表示，设P个实正弦波组成的信号用下式表示：,（4.7.1）,式中，初相位i是在区间（-，）均匀分布的随机变量， 首先分析下面的三角恒等式：,-,令x(n)=sin(n+), 则上式变为,（4.7.2）,将上式进行Z变换，得到,（4.7.3）,这样(4.7.2)式的特征多项式为,（4.7.4）,上式的两个根分别是:z1=ej,z2=e-j,它们共轭成对，且模为1。 由这两个根可以确定正弦波
10、的频率。对比AR模型的系统函数， 可以把正弦波信号用一个特殊的AR（2）模型表示，括弧中的2表示模型是二阶的。该AR模型的激励白噪声方差趋于0，极点趋于单位圆。通常称为退化的AR模型。这一模型系数有两个，即2 cos和1，（4.7.2）式是模型的差分方程。,对于P个实正弦波, 特征多项式是,（4.7.5）,上式是z-1的2P阶多项式，可以表示为,（4.7.6）,注意上式中的系数ak(k=1,2,3,2P),必须保证它的根共轭成对。考虑到根共轭成对，也可表示为,（4.7.7）,这样由(4.7.6)式，P个正弦波组合的模型用下面2P阶差分方程描述,（4.7.8）,对于复正弦波情况，P个复正弦波组成
11、的信号是,（4.7.9）,用一个退化的AR（p）模型表示的差分方程为,（4.7.10）,其特征多项式为,(4.7.11),其根为,1iP,注意这里的根不是共轭成对出现的。 总结以上P个正弦波组合是一个退化的AR(2P)过程，独立参量个数为P个；P个复正弦波的组合是退化的AR（P）过程， 独立参量个数仍为P个。实正弦过程相应的退化AR过程的阶数比复正弦情况的阶数高1倍。,4.7.2 白噪声中正弦波组合用一特殊的ARMA模型表示 白噪声中正弦波组合的信号为,（4.7.12）,式中，w(n)为白噪声, 且,将(4.7.12)式中x(n)的用AR(2P)表示，即将(4.7.8)式带入(4.7.12)式
12、中， 得到,（4.7.13）,将（4.7.12）式中的n用n-i代替,x(n-i)=y(n-i)-w(n-i),再将上式带入 (4.7.13)式, 得到,(4.7.14),上式可以看成一个特殊的ARMA(2P,2P)模型，括弧中的两个2P分别表示ARMA模型系统函数分子和分母的阶次。它与一般的ARMA模型比较，有三方面不同：,(1) 它的AR部分和MA部分具有相同的参数，它们存在共同的因子； (2) 由于特征多项式(4.7.6)式的根的模为1，故AR部分特征多项式不满足平稳性条件，MA部分特征多项式也不满足可逆性条件； （3）AR部分的y(n)=x(n)+w(n)，y(n)是含白噪声的观测值，
13、而通常为信号的x(n)不含白噪声。,4.7.3 特征分解法谱估计 这种特殊的ARMA模型结构，不能用一般的ARMA模型结构求解。下面介绍特征分解技术。 将（4.7.14）式写成矩阵形式：,YTA=WTA,(4.7.15),式中,用向量Y左乘(4.7.15)式, 并取数学期望, 得到,EYY TA=EYW TA,(4.7.16),式中,将上面关系式带入(4.7.16)式, 得到,(4.7.17),式中,w2是自相关函数Ryy的特征值; A是对应w2的特征矢量。 由于x(n)与w(n)互不相关，由（4.7.12）式求y(n)的自相关函数, 得到,式中Rxx是x(n)的自相关函数, 可以推导出在特征
14、方程(4.7.17)式中, w2是Ryy的最小特征值,且Ryy的阶数超过(2P+1)(2P+1)时， w2就是其多重最小特征值。这一结论为我们寻求向量A提供了重要的依据。,(4.7.18),当特征向量A求出后，就可以通过解特征方程，解出各个根，求出各正弦波的频率值，特征方程为,（4.7.19）,该方程有2P个根，这些根在z平面的单位圆上，它们是,i=1, 2, 3, , 2P,（4.7.20）,式中的i即是正弦波的频率。当各正弦频率由(4.7.19)式求出后, 各正弦波的功率也可以求出, 对于白噪声中P个实正弦组合信号, 它的自相关函数为,（4.7.21）,m0,(4.7.22),式中,qi是
15、频率为i的正弦波的幅度，Pi是其功率。 将(4.7.22)式写成矩阵形式:,FP=r,(4.7.23),式中,(4.7.24),PT=P1, P2, , PP,(4.7.25),(4.7.26),由于各正弦波的频率已求出, 矩阵F, r已知, 由(4.7.23)式解出各正弦波的功率或幅度。 最后噪声功率由下式求出:,(4.7.27),以上就是皮萨论科谱分解法的全过程。,Prony谱分析法,Prony曾在1975年提出用指数函数的一个线性组合去描述等间距采样数据的数学模型，其方法并不是通常意义下的谱估计技术。这里介绍有Kay和Marple（1981年）提出的可用于估计非有理式谱密度的扩充的Pro
16、ny方法。 基本的Prony法是一种内插法。它是采用等间隔复指数值的线性组合来拟合观测数据。每个复指数包含幅度和指数因子两部分，因此p个复制数值就含有2p个代求因子，若用p个指数项去逼近2p个数据，这种逼近可以精确实现。,当用p个指数去逼N(N2p)个数据时，可用最小二乘法准则来实现Prony方法的谱估计但这是一种非线性最小二乘法问题，直接求解相当困难，常用迭代法求解。 经过适当的扩展后，Prony方法可用来计算有理式功率谱密度，本节介绍这种扩展Prony方法。扩展Prony方法采用的数学模型为一组p个具有任意幅值、相位、频率与衰减因子的复指数线型组合来拟合观测数据，其离散时间的函数形式为,Prony谱分析法,多重信号分类MUSIC -现代谱估计的应用,MUSIC为： Multiple Signal Classification 即多重信号分类。 MUSIC 方法是一种估
