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1、本章基本点： 二次函数的顶点,本章基本方法：待定系数法和配方法,本章基本思想：数形结合思想和转化思想,本章知识结构,2010年北京中考考试说明对 本章教学内容的要求,定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做x的二次函数。,（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的,（2）等式的右边最高次数为 ， 可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.,注意：,（3）x的取值范围是 .,整式,即b,c可以为0, 但a0.,2,任意实数,1.二次函数的定义,二次函数的图象及性质,当a0时开口向上，并向上无限延伸； 当a0时开口向下，并向下无限延伸.,(0,0),(0,c),
2、(h,0),(h,k),直线,y轴,在对称轴左侧，y随x的增大而减小,在对称轴右侧，y随x的增大而增大,在对称轴左侧，y随x的增大而增大,在对称轴右侧，y随x的增大而减小,y轴,直线x=h,直线x=h,x=h时 ymin=0,x=h时 ymax=0,x=h时 ymin=k,x=h时 ymax=k,1.(2010兰州) 二次函数 的图象的顶点坐标是( A ) A（-1，8） B（1，8） C（-1，2） D（1，-4） 2.(2010舟山) 已知二次函数 ， 则函数值y的最小值是（ C ） A. 3 B. 2 C. 1 D. -1,注:此题考查顶点坐标公式或配方法求顶点.,注:此题求顶点纵坐标.
3、,二次函数的顶点(最值)问题,二次函数性质图象常见考题举例,(2) 对于一开始不是顶点式的要注意化为顶点式.,3.(2010兰州) 抛物线 图象向右平移2个单位再向下平移3个单位， 所得图象的解析式为 ， 则b、c的值为( B ) A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2,注(1)此题考查二次函数的平移,顶点坐标.,二次函数与全等变换相结合的问题,4.(2010陕西)将抛物线C：y=x2+3x-10，将抛物线C平移到C。若两条抛物线C,C关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（C） A将抛物线C向右平移个单位 B将抛物线C向
4、右平移3个单位 C将抛物线C向右平移5个单位D将抛物线C向右平移6个单位,注:此题考查二次函数的平移,顶点坐标及对称的知识.,5.(2010桂林)将抛物线 绕它的顶点旋转180，所得抛物线的解析式是（ D ） A B C D,注:此题考查二次函数的顶点坐标及中心对称的知识.,6.（2009天津）在平面直角坐标系中，先将 的图像关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）,A B C D,注：抓住两点，即一是开口方向；二是顶点坐标， 找到变换后的顶点坐标，再确定开口方向.,归纳知识点：,抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：,（1）a
5、的符号：,由抛物线的开口方向确定,开口向上,a0,开口向下,a0,（2）C的符号：,由抛物线与y轴的交点位置确定:,交点在x轴上方,c0,交点在x轴下方,c0,经过坐标原点,c=0,由图得数,由数得图数形结合,（3）b的符号：,由对称轴的位置确定：,对称轴在y轴左侧,a、b同号,对称轴在y轴右侧,a、b异号,对称轴是y轴,b=0,（4）b2-4ac的符号：,由抛物线与x轴的交点个数确定:,与x轴有两个交点,b2-4ac0,与x轴有一个交点,b2-4ac=0,与x轴无交点,b2-4ac0,归纳知识点：,简记为：左同右异,归纳知识点：,抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：,（5）a+b+c的符号
6、：,由x=1时抛物线上的点的位置确定,（6）a-b+c的符号：,由x=-1时抛物线上的点的位置确定,1.抛物线y=(x3)2的开口方向 ,对称轴是 ，顶点坐标为 ，在对称轴左侧，即x 时，y随x增大而 ；在对称轴右侧，即x 时，y随x增大而 ，当x= 时，y有最 值为 .,2.函数y=5(x3)22的图象可由函数y=5x2的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到.,基础知识之基础演练,3.二次函数y=a(x+k)2+k(a0)，无论k取什么实数，图象顶点必在（ ）. A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y轴上,5.函数y=-2x2+8x-8的顶点坐标为 .对
7、称轴为 .,4.将函数y=-x2-2x化为y=a(x-h) 2+k的形式为 .,基础知识之基础演练,6. 如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号： a 0; b 0; c 0; b2 - 4ac 0;,x,y,O,基础知识之基础演练,7.如图,抛物线y=ax2+bx+c ,请判断下列各式的符号： abc 0; 2ab 0; a+b+c 0; ab+c 0,x,y,O,-1,1,基础知识之基础演练,1.二次函数y=ax2+bx+c经过点(3,6)和(-1,6) ,则对称轴为 .,2.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2+bx(ab0)的图象只可能是（ ）,基础知识之
8、灵活运用,3.若b0，则函数y=2x2+bx5的图象的顶点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,4.设抛物线y=x24x+c的顶点在x轴上，则c为 .,基础知识之灵活运用,基础知识之灵活运用,5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图, 则方程ax2+bx+c=0的解为 ； 当x为 时，ax2+bx+c0;,x,y,O,-3,1,当x为 时，ax2+bx+c0.,6.关于x的一元二次方程x2-x-n=0无实数根，则 抛物线y=x2-x-n的顶点在（ ）,A第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限,方程和函数的关系,基础知识之灵活运用,1.已知抛物线y=
9、ax2+bx+c的对称轴为x=2， 且经过点（3，0），则a+b+c的值为 。,难点突破之思维激活,2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，7）， B（6，7），C（3，8），则该抛物线上纵坐 标为8的另一点坐标是_。,难点突破之思维激活,-2,3.下图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，且经过点 （2，0），则下列结论中正确的个数有（ ） a 0; 抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是（1，0）; 抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是（4，0）。,A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,-2,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的几个特例： 1、当x=1 时， 2、当x=-1时， 3、
10、当x=2时， 4、当x=-2时，,y=a+b+c,y=a-b+c,y=4a+2b+c,y=4a-2b+c, ,o,1,-1,2,练习：二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如上图所示，那么下列判断正确的有（填序号） . abc0, b2-4ac0, a+b+c0, 4a+2b+c0, 4a-2b+c0.,7.(2010莱芜)二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象不经过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限,由此推彼,二次函数性质图象常见考题举例,8.（09年南宁）已知二次函数 （ ）的图象如图所示，有下列四个结论： ，其中正确的个数有（ ） A1个 B2个 C3个 D
11、4个,a决定开口方向： a时,开口向上，a时,开口向下,a、b同时决定对称轴位置：左同右异 b时，对称轴是y轴,c决定抛物线与y轴的交点（0，c）,9.(09年鄂州)已知二次函数yax+bx+c的图象如图则下列5个代数式：ac，a+b+c，b-4ac，2a+b，2ab中，其值大于0的个数为（ ） A2 B 3 C、4 D、5,抛物线与x轴交点个数的判定. (1)b2-4ac0 2个交点. (2)b2-4ac = 0 1个交点. (3)b2-4ac0 0个.,注：一些特殊代数式：a+b+c, a-b+c, 2a+b等.,10.（2009深圳改编）二次函数的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2
12、，y2）、 C（-6，y3）、是它图象上的三点，则y1、y2 、y3的大小关系是（ ） A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y2 y1 y3 D不能确定,注：认识二次函数图象的轴对称性是解有些题的钥匙.,3.二次函数解析式的确定-待定系数法,一般式：y=ax2+bx+c 顶点坐标： 对称轴 ： 顶点式：y=a(x-h)2+k 顶点坐标：(h,k) 对称轴x=h 顶点式一般式（展开） 一般式顶点式（配方、顶点坐标公式）,已知任意三点坐标选用一般式； (如果已知与y轴的交点,设函数解析式时可先将c值直接代入,使三元方程组变为二元,从而简化运算) 已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式
13、； 已知抛物线与x轴的两个交点坐标常选用交点(双根）式.,（09襄樊）抛物线 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 ,注：此题也可以用不同的方法求解析式， 还要注意数形结合及二次函数图象的轴对称性,(宣武09一模）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整： 例题：求一元二次方程 的两个解 解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解 解方程： ,解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解 如图1所示，把方程 的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标，即就是方程的解,注：利用函数图像求方程的近似解是课程标准要求达到的，
14、注重教学的挖掘.,（2010日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知， 不等式ax2+bx+c0的解集是 . 1x3,(2010株洲)已知二次函数 （a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当 ， ， ， 时 二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .,，,（2010宁波）如图，已知P的半径为2，圆心P在抛物线 上运动，当P 与x轴相切时，圆心P的坐标为_。（ ，2）或（ ，2）,警示8：要注意几何与代数知识的综合运用,2008-2010连续三年 北京数学中考二次函数试题,(2008-24）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标（3,0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点 （1） 求直线BC及抛物线的解析式； (确定函数的表达式) （2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APD =ACB，求点P
