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1、2019/1/13,1,系统的,时域分析,返 回,2019/1/13,2,线性时不变系统的描述及特点,连续时间LTI系统的响应,连续时间LTI系统的冲激响应,卷积积分及其性质,离散时间LTI系统的响应,离散时间LTI系统的单位脉冲响应,卷积和及其性质,冲激响应表示的系统特性,2019/1/13,3,线性时不变系统的描述及特点,连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述,ai 、 bj为常数。,离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述,ai 、 bj为常数。,线性时不变(LTI)系统的描述,2019/1/13,4,线性时不变系统的特点,由于LTI系统具有线性特性和时不变特性，因此具有:,1）微
2、分特性或差分特性：,若 T f(t)=y(t),则,若 Tfk= yk,则 T fk -fk-1= yk - yk-1,2）积分特性或求和特性：,若 T f(t)=y(t),则,若 Tfk= yk,则,2019/1/13,5,例 已知LTI系统在f1(t)激励下产生的响应为y1(t) ，试求系统在f2(t)激励下产生的响应 y2(t) 。,解：,从f1(t)和f2(t)图形可以看得出，f2(t)与f1(t)存在以下关系,根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系,2019/1/13,6,连续时间LTI系统的响应,经典时域分析方法,系统的零输入响应和零状态响应,齐次解 特解
3、全解,2019/1/13,7,一. 经典时域分析方法:,求解微分方程,连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述,微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成,2019/1/13,8,齐次解yh(t)是齐次方程,的解，它由特征方程,的n 个特征根：1，2，3，n确定,2019/1/13,9,当一部分i（假设有 j 个）为单根（各不相同）时，齐次方程与这些根相应解的形式为：,一部分i （假设有r 个）是相同的（r 重根），齐次方程与这些根相应解的形式为：,齐次解yh(t) 又称为自然响应、固有响应,2019/1/13,10,特解yp(t)的形式由方程右边激励信号 的形
4、式确定,特解：,表2列出了特解 的各种形式。选定特解后将它代入原微分方程，求出各待定系数，就求出了特解,特解又叫受迫（强制、强迫）响应,2019/1/13,11,表2 不同特征根所对应的特解,返 回,2019/1/13,12,完全解（全响应）： 。将初始条件代入该式，求出待定系数 Cj 及 Dr 。至此，微分方程就求解完毕。,2019/1/13,13,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的微分方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,解: (1) 求齐次方程 y(t)+6y(t)+8y(t) = 0 的齐次解yh(t),特
5、征根为,齐次解yh(t),特征方程,t0,2019/1/13,14,(2) 求特解yp(t),由输入f (t)的形式，设方程的特解为,yp(t) = Ce-t,将特解带入原微分方程,即可求得常数C=1/3。,2019/1/13,15,代入初值, 全解为, 全解为,2019/1/13,16,经典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。,2019/1/13,17,二、系统的零输入响应和零状态响应,LTI系统的响应也可分为零输入响应和零状态响应。,即,
6、1. 零输入响应是输入信号为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应。,数学模型:,求解方法（也是求齐次解）： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由初始条件确定待定系数,2019/1/13,18,例 已知某线性时不变系统的微分方程为:,y“ (t)+5y (t) +6y (t) =4f(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y (0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =3,2019/1/13,19,解得 K1= 6，K2= -5
7、,2019/1/13,20,例 已知某线性时不变系统的微分方程为： y“ (t)+2y (t) +5y (t) = 4f (t )+3f(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y(0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,y(0-)=y (0-)=K1=1 y (0-)= y(0-)= -K1+2K2 =3,解得 K1= 1，K2= 2,2019/1/13,21,2.系统的零状态响应,当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yzs(t)表示。,求解系统的零状态响应yzs(t)方法：,1) 直接
8、求解初始状态为零的微分方程。,与经典法类似，只是初始状态为零,2019/1/13,22,对照经典法：,经典法的自然响应 的系数由初始状态和激励信号共同决定；零输入响应 的系数由仅由系统的初始状态来决定,2019/1/13,23,2) 卷积法：,利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,卷积法求解系统零状态响应yzs(t)的思路,1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响应 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yzs (t),2019/1/13,24,卷积法求解系统零状态响应yzs (t)推导,由
9、时不变特性,由齐次特性,由积分特性,设：,2019/1/13,25,连续时间LTI系统的单位冲激响应,单位冲激响应 ：系统在单位冲激信号 激励下的零状态响应。,N 阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足,在 以后， ，上面的微分方程式变为：,2019/1/13,26,当其特征根为 、 、 、 （设均为单根）时，其解也就是零输入响应，为,故 nm 时,nm 时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其高阶导数，即,将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数Ci ， Aj,2019/1/13,27,例1 已知某线性时不变系统的微分方程为 试求系统的冲激响应。,解： 当f (t) =
10、d (t)时，y(t) = h(t)，即,微分方程式的特征根 = -3, 且nm, 故h(t)的形式为,解得A=2,2019/1/13,28,例2 已知某线性时不变系统的微分方程为 试求系统的冲激响应。,解： 当f (t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即,动态方程式的特征根 = -6, 且n=m, 故h(t)的形式为,解得A= -16, B =3,2019/1/13,29,1) 由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式。,2) 由微分方程右边d (t)的最高阶导数与方程 左边h(t)的最高阶导数确定d (j)(t)项。,冲激平衡法小结,问题：还可如何求？,2019/1/13,30
11、,例1 已知某线性时不变系统的微分方程为 试求系统的冲激响应。,2019/1/13,31,卷积积分的计算和性质,一、卷积积分的计算,卷积的定义：,1. 将f(t)和h(t)中的自变量由t改为；,卷积的计算步骤：,2. 把其中一个信号翻转得h(-)，再平移t；,3. 将f(t) 与h(t- t)相乘；对乘积后信号的积分。,4. 不断改变平移量t，计算f(t) h(t- t)的积分。,2019/1/13,32,例,解：,2019/1/13,33,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,2019/1/13,34,c) 0 t
12、1,d) t 1,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,2019/1/13,35,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,2019/1/13,36,二、卷积的性质,1) 交换律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 2) 分配律 ( f1(t) + f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t) 3) 结合律 ( f1(t) * f2(t) ) * f3(t) =
13、f1(t) * ( f2(t) * f3(t) ) 4) 平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则 f1(t - t1) * f2(t - t2) = y(t - t1 - t2) 5) 展缩特性,2019/1/13,37,一、连续时间系统零状态响应的求解,t 表示计算系统响应的抽样点向量,a=a3, a2, a1, a0; b=b3, b2, b1, b0; sys=tf(b,a),y=lsim(sys,f,t),sys=tf(b,a),b和a分别为微分方程右端和左端各项的系数向量,f 是系统输入信号向量，,sys 是LTI系统模型，借助tf函数获得,利用MATLAB进行
14、系统的时域分析,2019/1/13,38,二、连续系统冲激响应和阶跃响应求解,连续时间系统冲激响应可用impulse函数直接求出，其调用形式为,y=impulse(sys, t),连续时间系统阶跃响应可用step函数直接求出，其调用形式为,y=step(sys, t),t 表示计算系统响应的抽样点向量 sys 是LTI系统模型,2019/1/13,39,离散时间LTI系统的响应,迭代法求系统响应 经典时域法求系统响应 卷积法求系统响应 零输入响应求解 零状态响应求解,2019/1/13,40,离散时间LTI系统的响应,离散时间LTI系统 的数学模型为,2. 经典时域分析方法:,求解差分方程,3
15、. 卷积法:,系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应,求解齐次差分方程得到零输入响应,利用卷积和可求出零状态响应,系统响应求解方法:,1. 迭代法:,2019/1/13,41,一、迭代法,已知 n 个初始状态 y-1, y-2, y-2, y-n 和输入，由差分方程迭代出系统的输出。,2019/1/13,42,例 一阶线性常系数差分方程 yk-0.5yk-1=uk, y-1 = 1，用迭代法求解差分方程。,解： 将差分方程写成,代入初始状态，可求得,依此类推,缺点：很难得到闭合形式的解。但它非常适合用于计算机计算。,2019/1/13,43,二、经典时域分析方法,差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yhk和特解ypk组成:,齐次解yhk的形式由齐次方程的特征根确定,特解ypk的形式由方程右边激励信号的形式确定,2019/1/13,44, 齐次解 : 差分方程：,特征方程,齐次解的形式,(1) 特征根是不等实根 r1, r2, , rn,(2) 特征根是等实根 r1=r2=rn,(3) 特征根是成对共轭复根,2019/1/13,45, 特解：,与微分方程相同，特解形式与输入相关，求解方法也几乎与连续的一样。,常用激励信号对应的特解形式,ak (a不是特征根),ak
