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1、1,第四章 导数的应用,4.1 中值定理 4.2 罗必达法则 4.3 函数的单调性 4.4 函数的极值与最值 4.5 曲线的凹性与拐点 4.6 函数作图的基本步骤与方法 4.7 导数在经济中的应用,2,第四章 导数的应用,导数是研究函数性质的重要工具. 仅从导数概念出 发并不能充分体现这种工具的作用, 需要微分学的基本 定理作为桥梁.,微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、 柯西中值定理.,4.1 中值定理,定理1 (罗尔定理)设函数 (x) 满足下列条件: (1) 在闭区间 a , b上连续; (2) 在开区间 (a, b)上可导; (3) (a) = (b);,罗尔(Rolle)定理
2、,3,则在(a, b)内至少存在一点 , 使得,b,o,x,A,B,y=f(x),a,y,罗尔定理的几何意义:,函数(x)在a, b上的图形是连续曲线弧 AB, 如果除 端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在闭区间a, b 的两个端点a与b处的纵坐标相同, 即(a) = (b);此时弦,4,显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取得, 由此启发了我们的证明思路.,AB平行于 x 轴; 则在弧 AB 上至少能找到一点C( (), 使曲线在点 C 处的切线平行于弦AB, 即平行于x轴,从而该点C处的切线斜率为,b,o,x,A,B,y = f(x),a,y,证,因(x)在闭区间a, b上连
3、续, 故由第二章定理16知:,5,(x)在 a,b上必有最大值 M 和最小值 m.,下面分两种情形讨论:,(1) 若M = m, 则(x)在a , b上恒为常数. 从而,o,y,x,y=M,6,故在(a , b)内的每一点都可取作 . 定理显然成立.,(2) 若 , 而(a) = (b),从而在区间(a , b)内至少存在一点 .使得() =M,则数 M 与 m 中至少有一个不等于端点的数值,不妨设,下面证明,因()= M,则不论x0或x0, 恒有,当x 0时,有,当x 0时, 有,7,而(x)在(a, b)内可导, 则,故必有,则对式(1)和式(2)取极限有,8,注1.罗尔定理中的三个条件是
4、充分条件, 缺一不可.否 则结论不一定成立.(一般地说结论正确就需证明;否则, 只须举反例即可)用下列各图形分别说明:,o,y,x,a,b,y=f(x),o,y,x,a,b,y=f(x),o,y,x,a,b,y=f(x),(x)在a, b内 有间断点,(x)在(a, b)内有 不可导点 (尖点),注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如,9,此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均 不满足, 但是却存在 和 = , 使,o,x,y=f(x),y,10,例1. 验证函数 在区间1, 2 上满足罗尔定理的条件, 并求出满足此结论中的 值.,注3.罗尔定理是定性的结果, 它只肯定了至少存在 一
5、个 , 而不能肯定 的个数, 也没有指出实际计算 的值的方法. 但对某些简单情形, 可从方程中解出 .,11,解 因 (x)是一初等函数, 其定义域为,则 (x)在 1, 2 上连续, 在(1, 2)内存在, 即(x)在 (1, 2）可导.,则满足题意的点为,而(1) = (2) = 0. 即(x)在 1, 2上满足罗尔定理 的条件.由,12,例2. 不求函数 (x) = (x1) (x2) (x3) x 的导数, 说明 方程 有几个实根?并指出它们所在区间.,13,例3.设(x)在a , b上连续, 在(a , b)内可导, 且 (a) = (b) = 0. 试证: 在(a , b)内至 少
6、存在一点 , 使得,显然罗尔定理的端点条件要求太强了, 将它去掉后就有,证,则 F(x) 在a , b上连续, 在(a , b)内可导, 且,F(a) = F(b) = 0, 即满足罗尔定理的条件.,则在(a , b)内至少存在一点 , 使得,14,二.拉格朗日(Lagrange)中值定理,定理2 拉格朗日(Lagrange)中值定理) 设函数(x)满足下列条件: (1) 在闭区间a, b上连续 ; (2) 在开区间(a, b)上可导 ;,则在(a , b)内至少存在一点 , 使得,o,x,y,y = f(x),a,A,b,B,C,或 也称微分中值定理.,几何意义:,如果在连续曲线弧AB上,
7、除端点外, 处处具有,不垂直于x轴的切线, 又因弦AB的斜率为 则 在弧AB上至少,D,15,o,x,y,y = f(x),a,A,b,B,既然罗尔定理是拉格朗日中值定理的 特殊情形,下面利用分析的方法来构造 辅助函数.,要证,故只须令 F(x) = (b)(a)(xa) (x)(a)(ba),C,能找到一点C, 使曲线在点 C 处的切线平行于弦 AB.,从而只需验证 F(x) 满足罗尔定理的条件即可. 易验 证这个函数的连续性、可导性以及端点条件.,注: 在a, b内的任意闭区间 上,拉格朗日中值定理 均成立.,D,16,特别地, 若 x 与 x + x为区间(a, b)内的任意两点, 则有
8、,由于当x为有限时, 上式是y的准确表达式. 因而也把上式称为有限增量公式. 而函数的微分 仅是y的近似表达式, 因而有限增量 公式在理论上十分有用.,17,例4. 验证函数 (x) = ln x在1, e上满足拉格朗日中值 定理. 若满足求出.,解 因 (x) 在 1, e上连续, 在 (1, e)内可导. 即 (x) 在 1, e上满足拉格朗日中值定理. 而,则由拉格朗日中值公式有,18,推论1.,几何意义：斜率处处为 0 的曲线, 一定是平行于 x 轴的 直线.,推论2.,下面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式.,例5.证明,证,19,例6. 证明不等式,分析:因 0 a b, 从而
9、b a不为0,即只须证,是函数值之差, 可以考虑用拉格朗日中值定理,解,令(x) = ln x,因(x)在a , b上连续, 在(a , b)内可导. 即(x)在 a , b上,满足拉格朗日中值定理. 从而,另一方面,显然,利用拉格朗日中值定理证明等式的关键是:,20,例7.当 x 1时, 证明不等式,最后特殊取点,(2) 根据不等式的特点选取适当的函数(x)及对应区间a , b, 使其满足定理的条件, 便有,再根据 a b 放大或缩小导数,证出不等式.,解 令,(1) 根据等式特点选取适当的函数(x). 先证,再证,21,则在(a , b)内至少存在一点 , 使得,(2) 辅助函数可令 F(
10、x) = (b)(a)g(x)g(a) (x)(a) g(b)g(a). 且由,定理3(柯西Cauchy中值定理),(1) 在闭区间a, b上连续 ；(2)在开区间(a, b)上可导 ；,理论证明略. 提示:,(3)当 g(x) = x时, 柯西中值定理即为拉格朗日中值定理.,若函数(x), g(x)满足下列条件：,(1) 其证明不能分别利用拉格朗日中值定理.,三. 柯西(Cauchy)中值定理,22,例8.若 (x) 在a , b上连续, 在(a , b)内可导且a 0, 试证 在(a , b)内方程 至少存在 一个根.,证 因,而 在a , b上满足柯西中值定理的条件.,所以在(a , b
11、)内至少存在一点 , 使得,故在(a , b)内方程至少存在一个根 .,23,结论: 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广; 柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广. 柯西中值定理的特殊情形为拉格朗日中值定理, 拉格朗日中值定理的特殊情形为罗尔定理.,C,R,L,(a) = (b),g(x) = x,24,多项式对数值计算和理论分析都十分方便, 所以在 研究某些复杂函数时, 常常希望将它们表示为一个多项 式. 假设(x)在 内能够表示为一个多项 式 , 问题:,(1)多项式 的系数应如何确定呢? (2) 又为多少呢?,四. 泰勒(Taylor)中值定理,25,(1)若(x)为一个关于x的多项式,
12、即,因多项式函数具有任意阶的连续导数,则可对上式两边 求x的1至n阶导数, 有,假设(x)在 内表示为 的多项式,即,下面对(x)分两种情形来讨论以上问题.,26,在上列各式中,令 , 则得,由,从而,27,并记(x)与 之误差为 从而有,(x), 即有,当 很小且在允许的误差范围之内时,就可用 去近 似代替,(2)若(x)不是多项式, 而是一个在 内具有 直到(n+1)阶导数的一般函数, 则我们可仿照上式构造一 个关于x的多项式,28,定理4.(泰勒Taylor中值定理) 若函数(x)在 内具有直到(n+1)阶导数, 则 均有,其中,那么, 误差 如何确定呢?,29,则F(t)在区间 上连续
13、且可导,并有,理论证明可不讲.(证明提示)作辅助函数,令,则F(t)和G(t)满足柯西中值定理的条件, 故在,30,至少存在一点 , 使得,31,为函数(x)在 处的 n 阶泰勒多项式.,称,而式,称为函数(x)在 处的 n 阶拉格朗日余项.,注2.若(x)满足定理的条件, 则,其误差可由,来估计.,注1.将,称为函数(x)在,处的 n 阶泰勒公式或泰勒展开式.,32,注4.在泰勒公式中令 则又可得到马克劳林 (Maclaurin) 公式或马克劳林(Maclaurin)展开式. 即为,因此, 泰勒公式是拉格朗日公式的推广.,注3.在泰勒公式中令 n = 0, 则又可得到拉格朗日公式,33,例9.写出 的n阶马克劳林展开式.,注:在上式中令x = 1, 则得无理数e的近似值,此时所产生的误差为,34,注:泰勒中值定理可用来近似求函数值,并且 n 取得越大 近似程度越好.,解,例10.写出函数(x) = ln(1+x)在 n = 2 时的马克劳林展开式.,
