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1、3.3 积分变换法举例,积分变换的某些作用：,通过积分变换可将未知函数的常微分方程化成象 函数的代数方程，达到了消去对自变量求导数运算的 目的。,积分变换法也能用于解偏微分方程，在偏微分方程 两端对某个变量取变换就能消去未知函数对该自变 量求偏导数的运算，得到象函数的较为简单的微分方 程。,例1 无界杆上的热传导问题,解：归结为求解下列定解问题,其中,方程的特点:非齐次 ，求解的区域又是无界。,两个记号：,对方程（3.35）的两端取关于x的Fourier变换,由Fourier变换的微分性质：,得到,为导出方程（3.37）的定解条件,（3.37）,对条件（3.36）式的两端也取x的Fourier
2、变换：,（3.38）,方程（3.37）是一阶线性常微分方程，它满足边界条件 （3.38）的解为,（3.39）,由Fourier变换表可查得,再根据Fourier变换的卷积性质得,例2 半无限长的杆上的热传导问题,一条半无限长的杆，端点温度变化情况为已知，杆的 初始温度为0，求杆上温度的分布规律。,解：归结为求解下列定解问题,不能用Fourier变换，因为,用Laplace变换求解。,对x还是t取Laplace变换？,记号,对上式两端同时取关于t的Laplace变换，得,即,在对上式关于t取Laplace变换，得,即,通解为,从而,关于p取Laplace逆变换,由Laplace变换表查得，,再根
3、据Laplace变换的微分性质得,最后由Laplace变换的卷积性质得,用积分变换法解定解问题的过程大体为：,一、根据自变量的变化范围以及定解条件的具体情况， 选取适当的积分变换。然后对方程的两端取变换，把 一个含有两个自变量的偏微分方程化为含一个产量的 常微分方程。,二、对定解条件取相应的变换，导出新方程的定解条件。,三、解所得的常微分方程，求得原定解问题解的变换式 （即象函数）。,四、对所得的变换式取逆变换，得到原定解问题的解。,取Laplace变换，必须在定解条件中给出该自变量等于零时的函数值及有关导数值。,定解条件中哪些需要取变换，那些不需要取变换。这个问题很容易解决，凡是对方程取变换时没有用到的条件都要对它取变换，使它转化为新方程的定解条件。,Poisson公式,
