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1、2019/1/13,1,复习：,若数列递增有上界，则数列收敛，即单调有界数列必有极限。,常数项级数的基本概念: 正项级数、交错级数、任意项级数,基本审敛法,2019/1/13,2,第二节 常数项级数的审敛法,一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛（任意项级数）,2019/1/13,3,一、正项级数及其审敛法,定义:,这种级数称为正项级数.,正项级数收敛的充要条件,定理1,部分和数列 为单调增加数列.,正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.,2019/1/13,4,定理2(比较审敛法),证明,即部分和数列有界,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,
2、须有参考级数.,2019/1/13,5,推论,2019/1/13,6,解,由图可知,2019/1/13,7,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,离散问题连续化：,2019/1/13,8,证明,2019/1/13,9,定理3 （比较审敛法的极限形式）,2019/1/13,10,证明,由比较审敛法的推论, 得证.,2019/1/13,11,2019/1/13,12,解,原级数发散.,故原级数收敛.,2019/1/13,13,收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散,定理5(比值审敛法或 达朗贝尔判别法),证明,2019/1/13,14,收敛,发散,2019/1/13
3、,15,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,2019/1/13,16,2019/1/13,17,解,2019/1/13,18,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,2019/1/13,19,级数收敛.,2019/1/13,20,所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛,因为,解,例6,判别下列正项级数的敛散性,1）,1）,2）,2）,因为,所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛,2019/1/13,21,二、交错级数及其审敛法,定理7(莱布尼茨定理),(1)unun1(n1 2 3 ),则级数收敛 且其和0 su1 其余项rn的绝对值|rn|un1,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,2019/1/13,22,证明,2019/1/13,23,满足收敛的两个条件,定理证毕.,2019/1/13,24,解,原级数收敛.,2019/1/13,25,三、绝对收敛与条件收敛,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,2019/1/13,26,2019/1/13,27,解,故由定理知原级数绝对收敛.,2019/1/13,28,2019/1/13,29,小结,2019/1/13,30,思考题,2019/1/13,31,思考题解答,反之不成立.,例如：,
