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1、2-4,微分中值定理,1、罗尔（ Rolle）定理.,罗尔定理: 若函数 f (x) 满足:,(1) f (x) 在 a, b上连续;,(2) f (x)在( a, b )内可导;,(3) f (a)=f (b),则在( a, b )内至少有一点 , 使得 f .,一、微分中值定理,证,使,定理可推广,在 ( a , b ) 内可导, 且,在( a , b ) 内至少存在一点,证明提示: 设,证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 .,解: 因为,由罗尔定理知,至少存在一点,使得 f ,事实上,注：罗尔定理可作为 f 的根的存在性定理.,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零
2、.,几何解释:,f (x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0, 1)内,罗尔定理的三个条件，缺一不可.,注:,f (x)在-1, 1上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当 x 时,f (x)= 1.,x 时,f (x)= 1.,x=0时,f (0)不存在.,(ii),(iii) y=f (x)=x, x1, 2,f (x)在1, 2上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1, 2)内,f (x)=1.,例3,证,由零点定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,例 5 设 试证方程 在区间(0,1)内至少有一个实根。 证明：,则 f(0)=f(1)=0，从而存
3、在01,使得,2. 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理.,拉格朗日中值定理(微分中值定理）:,若函数 f (x)满足,(1) f (x) 在 a, b 上连续; (2) f (x) 在(a, b) 内可导.,则在 (a, b) 内至少有一点 ,使等式 f (b)f (a)=f ( )(ba). (1),成立.,几何意义:,平行于弦 AB.,除端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,那末在这曲线弧内至少有一点,在该点处的切线,证,分析:,弦AB方程为,证: 令 (x)= f (x)L(x),显然:, (x)在 a, b 上连续,在 (a, b)内可导,且 a b,由罗尔定理,a, b,使
4、( ) .,而 (x),所以 ( ),=0,由此得 f ( ),即 f (b)f (a)=f ( )(ba).,证法二,F(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,由R-定理知:,例验证函数满足拉格朗日定理并求,f(x)在0,2,上连续,(0,2)可导,存在f ()=,f (x)在 x 处于可微： ydy=f (x)x 要求:| x |很小， 且f (x)0,f (x)在 a, b 上满足 拉格朗日定理条件： y= f ( x+ x )x 要求: x有限.,y=f (x+x) f (x),=f ( ) x . 其中 (x, x+x) 或 (x+x, x),拉格朗日中值公式又称有限增
5、量公式.,注:拉氏公式的几种形式 f(b)-f(a)=f()(b-a) 在a,b之间 f(b)-f(a)=fa+(b-a)（b-a） (01) f(x+x)-f(x)=f()x （在x+x,x之间） f(x+x)-f(x)=fx+x x (01),y= f ( x+ x ) x (4),如果函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零,那末 f (x)在区间 I 上是一个常数.,推论,证明: 在区间 I 上任取两点 x1, x2,不妨设 x1 x2,则 f (x)在x1, x2上满足拉格朗日定理条件.,有 f (x2) f (x1)=f ( )( x2x1). ( x1 x2),由已知条件 f
6、( )=0,即 f (x2)= f (x1),由 x1, x2 的任意性,所以 f (x)C , xI.,如果函数 f (x) =g(x)在区间 I 上恒成立, 那末 f (x)=g(x)+C 在区间 I 成立（C为任意常数）.,推论,证明:,令F(x)= f (x) g (x),由已知条件 F (x )=0,所以 f (x)- g(x)=C,所以 f (x)g(x)+C , xI.,例1. 证明,证:,( xR ),由于 f (x),所以 f (x) C. (C为常数),当 x0= 0 时,所以,即,例2,证,例3 试证 |sin x -sin y| | x - y | 证明(1)xy设 函
7、数 f(t)=sin t, t x, y ,显然该函数满足拉格朗日中值定理的条件， 可得 即 |sin x -sin y| | x - y | （2）x=y显然成立,例4. 设 ab0 n1.,证明:,令 f (x)= x n 显然 f (x) 在 b, a上满足拉格朗日定理条件,证明: nbn1(ab) an bn nan1(a b),有 f (a) f (b)=f ( )(ab) (b a),即 an bn = n n1(a b),nbn1 (a b)n n 1 (a b) nan1 (a b),即 nbn1(ab) an bn nan1(a b),例5 已知f(x)在a,b上连续，在(a
8、,b)内二阶可导，割线AB交曲线于点Mm,f(m),试证 (a,b)内至少存在一点使f”()=0,f (x)在1 2满足罗尔定理条件 至少存在1 (1 2) 使 f”()=0,证明: f(x)在a,m,m,b 满足拉格朗日定理条件 至少存在1 (a,m) 2 (m,b),2,M,求证存在,使,设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,设,证明对任意,有,证：,不妨设,二、函数单调性的判别法,定理,例2 讨论函数y=x-sinx 的单调性。,解：y=1-cosx0， y=x-sinx在(- ，+)上单调增加,几何上看：单调区间的分界点 是使
9、f (x)=0的点.,注: 区间内孤立点处导数为零或不存在 , 不影响函数在区间上的单调性.,证,应用拉氏定理,得,单调区间求法,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点(驻点）和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,(2) y =0 = x1=1/2, x2=1 (3) y 不存在的点，x=0(无定义) x (-,0) 0 (0,1/2) 1/2 (1/2 ,1) 1 (1,+) y - 不存在 - 0 + 0 - y ,确定函数的单调区间步骤： 1)先求f (x) ; 2)令f (x)=0求根； 3)方程f (x)=0根及f (x)不存在点划分单调区间； 4）确定f(x)在各区间的符号从而确定f(x)的单调性。 例1：求函数y= 单调区间。 解：(1),例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,例4,解,证,用函数的单调性可以证明不等式。,法1,法2,例1,证,例2证明不等式：,当x0时，,设,设,从而，,证明:,当,时，,有,证明:,令, 则,F（x)单调减少，,分析：,证明：,方法2：,证明：,分析：,证明：,证明方程根的唯一性 单调增加或单调减少的函数f(x) f(x)=0在单调区间内只能有一个实根。,例,证,由零点定理,单调减少,所以只有一个实根,
