1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义． 2．会求导函数． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程．(重点) 2．准确理解在某点处与过某点的切线方程．(易混点),2.2 导数的几何意义,【课标要求】,【核心扫描】,1．切线：如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．显然割线PPn的斜率是kn ＝ ，当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．,自学导引,2．几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，也就是曲线y＝f(x)在 点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝ ＝f′(x0)． 相应地，切线方程为 ．,斜率,y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),：过曲线y＝f(x)上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗？,提示 不一定．可能多条也可能不存在，如y＝|x|，在点(0,0)处无切线，又在如图所示的曲线中，过点A可作两条切线．,(1)以前学过的切线的定义是与封闭曲线只有一个交点的直线叫做曲线的切线，而此处切线的定义是曲线割线的交点，趋近于另一个交点的极限位置，是从极限的角度定义切线的． (2)与曲线有且只有一个交点的直线不一定是曲线的切线．反之，曲线的切线与曲线的交点个数可能不只一个．如y＝1与y＝sin x有无数个交点，但y＝1却是y＝sin x的切线．,名师点睛,1．对导数几何意义的理解,(3)若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直． (4)显然f′(x0)0，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)0，切线倾斜角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行或重合．,第一步：求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； 第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．,2．利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程的步骤,设切点坐标为(x0，y0)，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用两直线平行，垂直等条件求出切点的坐标． 求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，由导数的几何意义，得f′(x0)＝k＝tan α，(其中α为曲线f(x)在(x0，f(x0)处的切线的倾斜角)进而求出α.特别地，若f(x)在x0处的导数不存在，而f(x)在x0处的切线存在，则此切线的倾斜角为90°.,3．求切点的坐标,4．求切线的倾斜角,y＝9x－1，则切线方程为 ( )． A．y＝9x B．y＝9x－26 C．y＝9x＋26 D．y＝9x＋6或y＝9x－26 设点P(x0，y0)，由导数的几何意义可知，曲线在点P处的切线斜率为9，由此可求出切点的横坐标x0.,题型一 曲线的切线方程,【例1】 曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线,[思路探索],答案 D,求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程，即点P的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点P处的切线斜率为f′(x0)，则点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)；如果曲线y＝f(x)在点P处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为x＝x0.,它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况． [思路探索] 烟花在t＝2 s时的瞬时速度就是h′(2)，即曲线h(t)在点t＝2处的切线的斜率；而烟花升空后的运动状况，可以应用切线斜率的变化予以解释．,题型二 导数几何意义的实际应用,【例2】 “菊花”烟火是最壮观的烟花之一，制造时通常期望,导数的几何意义是曲线的切线的斜率．反之，在曲线上取确定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度．,解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时同时注意解析几何知识的应用．如直线的倾斜角与斜率的关系，平行、垂直等．,题型三 求切点坐标,【例3】 (12分)拋物线y＝x2在点P处的切线与直线4x,－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线方程．,审题指导,∴y′|x＝x0＝2x0， (6分) 又由切线与直线4x－y＋2＝0平行， ∴2x0＝4，∴x0＝2， (8分) ∵P(2，y0)在拋物线y＝x2上，∴y0＝4， ∴点P的坐标为(2,4)， (10分) ∴切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0 (12分),【题后反思】 解答此类问题的步骤为： (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标． (6)得到切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0),【训练3】 已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切．,求a的值及切点的坐标．,误区警示 求曲线切线方程时， 没有判断定点是否在曲线上而致错,【示例】 过曲线y＝x3上点(1,1)的切线方程是________．,求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．,单击此处进入 活页规范训练,。