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1、第三节 开集,闭集,完备集,第二章 点集,1. 开集、闭集,P0为 E的接触点： P0为 E的聚点： P0为 E的内点：,说明：要证E是开集，只要证 要证E是闭集，只要证,若E = E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）,例：开区间(a,b)为开集,说明：要证E是开集，只要证,证明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x是（a,b）的内点， 故(a,b)是开集。,例：闭区间a,b为闭集,说明： 要证E是闭集，只要证,证明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x不是a,b的接触点，,从而a,b
2、的接触点都在a,b内， 从而a,b是闭集。,注：闭集为对极限运算封闭的点集,即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点,利用： p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn, 使得 或 p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn, 使得,若 （或 ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外）,E为开集,注： E为含于E内的最大开集,E,从而y为E的内点，从而 所以x为E的内点，即,证明：只要证,E为闭集,E为闭集,注： 为包含E的最小闭集,E,从而 即x为E的聚点，从而,2 开集与闭集的对偶性,P0为 E的接触点： P0为 E的聚点： P0为 E的内点： P0为 E
3、的外点：,b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。,a.,开集的余集是闭集,从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。,证明：设E为开集，即,闭集的余集是开集,证明：设E为闭集，即,任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，,从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内， 这与 矛盾，,所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。,3 开集的性质,a. 空集，Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。,注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n), Rn中只有空
4、集和Rn既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1),闭集的性质,a.空集，Rn为闭集； b.任意多个闭集之交仍为闭集； c.有限个闭集之并仍为闭集。,注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=0,1-1/n,若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集,5 .隔离性定理及点集间的距离,隔离性定理 设 是 中两个互不相交的闭集，证明：存在两个 互不相交的开集 ，使得,注：隔离性定理中“闭集”的条件不能少， 如2，3）和（3，5,点集间的距离,b.若 ,则 d(A,B)=0; 反之则不一定成立， 如A=n - 1/n,B=n+1/n（都是闭集）,c.d(x,B)=0当且仅当
5、,注：a.若x B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1),证明：利用d(x,E) d(x,z) d(x,y) +d(y,z) z E,定理 设E为Rn中非空点集 ，则d(x,E)是Rn上关于x的 一致连续函数,所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。,可得d(x,E) d(x,y) +d(y,E)， 同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y),定理（距离可达性定理1）：设A为非空闭集 ， xRn ，则必有yA,使得d(x,y)=d(x,A),闭集：与E紧挨的点 不跑到E外，也即E外 的点与E不可能紧挨,证
6、明：由 可得,定理（距离可达性定理2） ：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有xA, yB,使得d(x,y)=d(A,B),由于A有界，故,证明：由,A有界不可少， 如A=n - 1/n,B=n+1/n,又B为闭集，故yB, 另外对 两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B),又A为闭集，从而xA ，并可得yni有界 因为当ni充分大时， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ）,定理：设F1， F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn 上的连续函数f(x) ，使得 （1）0 f(x) 1， x Rn （2） f(
7、x)=0， x F1; f(x)=1, x F2,注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材）， 即Urysohn引理.,思 考,两个闭集 不相交，下面的结论一定成立吗？ 上面条件换成有界闭集呢？,6.R中有关紧性的两个结论,Bolzano-Weierstrass定理： 若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一 个聚点.,注：对无限维空间不一定成立。, Heine-Borel有限覆盖定理,设F为Rn 中的有界闭集，若开集簇 覆 盖F， 即 ， 则 中存在有限个 开集U1 ，U2， ,Un，它同样覆盖F,定义 （紧集）,设M是度量空间X中的一集合， 是X中任一族覆盖了M的开集，如果可从中
8、选出有限个开集U1 ，U2， ,Un仍然覆盖M，则称M是X中的紧集,结论： 中紧集与有界闭集等价,但在一般的度量空间中，紧集必为有界闭集，而有界闭集不一定为紧集,定理： 设M是度量空间 中的紧集，则M是X中的有界闭集,举例说明有界闭集未必是紧集（教材P306例2）,可数覆盖定理,设F为Rn中一 集合，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在可数个开集U1 ，U2， ,Un ， ，它同样覆盖F,提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径 的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理 点全体在Rn中稠密和有理数全体是R的稠密集,7 自密集和完备集的定义,自密集：设 ，如果 ，则称E 为自密集
9、，也即集合中每点都是这个集 合的聚点，或没有孤立点的集合为自密集。 例：有理数集Q为自密集 完备集：设 ，如果 ，则称 E为完备集。 例：任何闭区间及全直线都为完备集,第四节 直线上的 开集,闭集,完备集的构造,第二章 点集,7. 直线上的开集构造,定义（构成区间） 设G为直线上的开集，如果开区间 而且端点 不属于G，则称 为G的 构成区间。 例如：,a b c c d d,(a,b),(c,d)为构成区间 （c,d）不是,定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的并，又当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间,直线上的闭集或是全直线，或
10、是从直线上挖去有限个或 可数个互不相交的开区间所得之集.,开 集 构 造 性 定 理,直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区 间的公共端点;,（4）Rn中的开集一般不能表示成至 多可数个互不相交的开区间之并， 但总可表示成至多可数个互不相 交的半开半闭区间之并，且不唯一.,（3）（完备集的构造定理）直线上的完备集F或是全直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没有公共端点的开区间而得到的集合,8.Cantor集,定义：令 称P=0,1- G=0,1Gc 为Cantor集,Cantor集的性质,a .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc为闭集,c
11、. P没有内点,但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉 中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P， 所以x不可能是P的内点。,证明：对任意x P, x必含在“去掉手续 进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互 不相交的某个闭区间中,d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点,从而x为P的聚点，当然不为孤立点。,证明：对任意x P ， 只要证：,由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中，,数的进位制简介,十进制小数 相应于 对0,1十等分 二进制小数 相应于 对0,1二等分 三进制小数 相应于 对0,1三等分,说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如 0.2000000 0.1999999 （十进制小数）,e. P的势为 （利用二进制，三进制证明）,证明思路：把0,1区间中的点都写成三进制小数， 则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点 的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全 体，作对应,注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.,康托集P为完备集 （由完备集的构造性定理可得）,
