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1、（三） 简单的二次曲面,1知识范围 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转抛物面 圆锥面 椭球面 2要求 了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。,二次曲面方程的定义：,1、曲面方程的概念,（1）球面.,解,根据题意有,所求方程为,解,根据题意有,所求方程为,根据题意有,化简得所求方程,解,例4 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,（2） 柱面,定义：,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,P(x,y,z),柱面上任取一点P(x,y,z),沿母线与xoy平面的交点是P(x,
2、y,0),P(x,y,0),P(x,y,0)在准线上，从而柱面上 任一点P的坐标均满足方程 F(x,y)=0.,准线方程,柱面方程：F(x,y)=0,柱面的特征：,实 例,椭圆柱面 / 轴,双曲柱面 / 轴,抛物柱面 / 轴,柱面举例,抛物柱面,椭圆柱面,圆柱面,（3） 旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之.,这条定直线叫旋转曲面的轴.,平面上的曲线称为母线。,旋转过程中的特征：,曲面上任取一点，,将 代入,则点M是由曲线上点M1旋转得来。,因此,将 代入,得方程,（2）圆锥面,（1）球面,（3）旋转双曲面,例7 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转
3、曲面的方程,旋转双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,（4）锥面,一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动 所产生的曲面称为锥面。动直线称为母线，定点称 为顶点，固定曲线称为准线。,圆锥方程（半顶角a),圆锥面方程,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,（5）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,图形有界，并且关于坐标面对称。,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆.,当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方
4、程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,（6）抛物面,（ 与 同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,图形位于xoy平面的上方，并关于yoz及zox坐标面对称。,与平面 的交线为椭圆.,当 k 变动时，这种椭圆的中心都在 z轴上.,与平面 z=k (k0) 不相交.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 y=k的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,（3）用坐标面 ，x=k 与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转
5、抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 z=k (k0) 的交线为圆.,当k变动时，这种圆的中心都在 z 轴上.,双叶双曲面,（04一20）. 方程2x2-y2=1表示的二次曲面是（ ） A、球 面 B、旋转抛物面 C、柱面 D、圆锥面,空间曲线及其方程,空间曲线的一般方程 空间曲线的参数方程 空间曲线在坐标面上的投影,空间曲线的一般方程,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,1、空间曲线的一般方程,例2 方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,例1 xoy平面上的曲线可看作是柱面 f(x,y)=0与平面z=0的交线：,例3 方程组 表示怎样的曲线？,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,空间曲线的参数方程,2、空间曲线的参数方程,动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比 即,上升的高度,螺距,
