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1、第八章 多元函数微分法及其应用,第一节 多元函数的基本概念,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,1. 邻域,设 是平面上的一个点， 是某一正数，与点 距离小于 的点 的全体，称为点 的 邻域，记为，,一、区域,2. 区域,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,无界开区域,3. 聚点,(1). 内点一定是聚点；,说明：,(2) .边界点一定是聚点；,设E是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集E，则称P 为E 的聚点.,(3). 点集 E 的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,边界上的点都是 E 的
2、聚点也都属于集合E ,4. n维空间,(1). n 维空间的记号为,说明：,(2). n 维空间中两点间距离公式 .,特殊地当 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离,设两点为,5. 二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量因变量等概念.,解,所求定义域为,二元函数的图形通常是一张曲面.,二、多元函数的极限,说明：,(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似,证明,原结论成立,解,其中,证明,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,三、多元函数的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,点(0,0)是该函数的一个间断点.,闭区域上连续函数的性质,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,在有界闭区域 上的多元连续函数，在上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域 上的多元连续函数，如果在 上取得两个不同的函数值，则它在 上取得介于这两值之间的任何值至少一次,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,解,解,函数,是初等函数，,所以,其定义域为,
