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1、期末考试的题型：,一、选择题：5题*2分,二、填空题：5题*3分,三、判断题：5题*2分,四、计算题：3题*5分+2题*7分+ 2题*8分,五、综合题：2题*10分,定义,若在区间I上，,F (x)= f (x),则称函数 F (x) 为 f (x) 在区间I上的一个原函数.,4.1 原函数与不定积分的概念,或,dF(x) = f (x)dx ，,第4章 不 定 积 分,定理：连续函数一定有原函数.,例 1,解：,依题意可知,例 2,解：,依题意可知,定义 2 在区间 I 上，函数 f（x）的全体原函数称为 f（x）的不定积分，记作,不定积分的性质：,例3 下列各等式中不正确的是（ ）,+C,
2、基本积分公式 ,（k是常数);,以上13个公式是求不定积分的基础，称为基本积分公式，必须熟练掌握。,练习 求下列不定积分：,4.2 不定积分的性质,此性质可推广到有限多个函数之和的情况,（2） 被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外，,(k 为不等于零的常数),直接积分法,例4 计算下列各式,4.2第一换元积分法 (凑微分法),1.欲看成整体u,必须先凑出du;,2.,积分过程,求导过程,例 如 求,解,分析：,积分,解,分析：,解：,解：,例4 计算下列各式,解,同理可得：,第二换元积分法,定理 (第二换元积分法),设函数 x = j (t) 单调可导，,且 j (t) 0，,则,4.
3、4 分部积分法,分部积分法一般把较容易求积分的部分先凑（即凑成dV），通常求积分从易到难的函数顺序为：,指数函数 三角函数 幂函数 对数函数 反三角函数,解,(2),第5章 定积分及其应用,5.1 定积分的概念与性质,关于可积有下面两个定理：,定理1 设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。,定理2 设f(x)在a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,b上可积。,5.2 牛顿莱布尼茨公式,1、 标准变上限积分,例 1,求 (x).,解, (x),例2 求下列极限.,如果函数 f (x) 在区间a, b上连续，,F(x) 是 f (x) 在区间 a, b 上任一原函数，,那
4、么,2、牛顿莱布尼茨公式（微积分的基本公式）：,5.3 定积分的换元积分法与分部积分法,令 x = j(t) ，则,1、 换元法,2、,例 3 计算,3、,求积分,宜用几何意义求解.,例 4 计算,-2,2,-1,1,4、,分部积分法,例 5 计算,5 . 4 广 义 积 分,例 6 求,解,若 瑕点c在a,b之间的，,（1）由曲线,及直线x=a,x=b,(ab)所围成的图形的面积:,1、在直角坐标系中平面图形的面积：,5 . 5 定积分在几何上的应用,（2）由曲线,及直线y=c, y=d (cd)所围成的图形的面积：,1,y = sinx,例7,（1）设 y=f(x), x=a,x=b(ab
5、) 及x轴所围图形绕x轴旋转, 所得旋转体的体积：,2、 旋转体体积,（2）由 , y=c, y=d (cd) 及y轴所围图形绕y轴旋转,求所得旋转体的体积.,解,例8 求由曲线y=x2和x=1及x轴所围图形绕y轴旋转所成旋转体的体积。,(1,1),1,微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，,称为微分方程的阶.,10.1 常微分方程的一般概念,第10章 常微分方程,1 、微分方程的阶,(1) y=2x,例1 下列微分方程各是几阶的,(2) y dx + x2 dy = 0；,(4),(3),一阶,一阶,一阶,二阶,(5),二阶,2 、微分方程的通解和特解.,定义 任何代入微分方程后使其左右
6、两端相等的函数，都叫做该方程的解.,若微分方程的解中含有任意常数C的个数与方程的阶数相同，,且这些任意常数是相互独立的（即不能合并），则称此解为该方程的通解(或一般解).,若通解中任意常数都被取定，则该解称为微分方程的特解.,例2 判断下列函数是否是微分方程的解，是特解还是通解？,y + 2y + y = 0,特解.,y = e x,y = Ce x,y -y = 0,y = Ce x,y -2y + y = 0,通解.,是解，,但既不是通解，也不是特解。,10.2 可分离变量的微分方程,1、 可分离变量的微分方程,分离变量；,两边积分；,整理即得微分方程的通解。,为了简便起见，我们约定：,(
7、3)当左边是y的对数时，不定常数通常取lnC .,（1）分离时可不讨论；,（2）本章可采用下列不加绝对值的积分：,两边积分，得,所以方程的通解是,其中 C 为任意常数.,分离变量，得,例 3 求方程,两边积分，得,所以方程的通解是,其中 C 为任意常数.,分离变量，得,例 4 求方程,其中 C 为任意常数.,分离变量，得,例 5 求方程,2、齐次微分方程,形如,的方程叫做齐次微分方程 .,令,代入原方程得,解法:,下面按照分离变量方程来求解。,原方程可写成,解,代入上式，得,例6 求解,两边积分 得,或写成,分离变量 得,例 7 求解微分方程,解,代入方程得，,积分得，,代回原变量，即得通解，,形如,的方程称为,其中q(x)称为自由项。,称为一阶线性齐次微分方程；,0，则称为一阶线性非齐次微分方程；,若 q (x),若 q (x) 0，则方程成为,10.3 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程，,一阶线性非齐次方程,的通解：,解,因此原方程的通解为,例8,求解方程,解,因此原方程的通解为,例9,求解方程,解,因此原方程的通解为,例10,求解方程,原方程可化为,
