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1、2.4 无穷大量与无穷小量,一、无穷大量与无穷小量,二、无穷小量与无穷大量阶的比较,定义2.4,一、无穷大量与无穷小量,例如：,定义2.5,例如：,关于无穷小量与无穷大量注意以下几个问题：,(2)无穷小量(无穷大量)是相对于自变量的某一变化 过程而言的。,(1)无穷小量与无穷大量的定义同样适用于数列。,(3)无穷小量(无穷大量)不是指很小(很大)的数而是指 一个变量。实数中仅有是无穷小量 ！,(4)无穷大量是一个特殊的无界变量，反之无界变量未必为无穷大量。,证明,例,必要性：,充分性：,( 无穷小量与函数极限的关系 ),例,证明,由夹逼定理可得,性质:无穷小量与局部有界变量之积仍为无穷小量。,
2、解：,注:无穷大量与有界变量之积未必为无穷大量。,无穷小与无穷大的关系：,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,在自变量的同一变化过程中,关于无穷大的问题可转化为无穷小来讨论.,说明:,练习：,指出下列变量当 时是无穷小量：,指出下列变量当 时是无穷大量：,二、无穷小量与无穷大量阶的比较,无穷小量虽然都是趋于零的变量，但不同的无穷小量 趋于零的速度都不一样，有时差别很大。,(一) Def2.6:,则称 是 的高阶的无穷小量.,则称 是 的低阶的无穷小量.,则称 与 是同阶的无穷小量.,特别地，,则称 与 是等价的无穷小量.,设 和 均是 变化趋势下的两个无穷小量，,(二) Def2.:,设 和 均是 变化趋势下的两个无穷大量，,则称 是 的低阶的无穷大量.,或称 是 的高阶的无穷大量.,则称 与 是同阶的无穷大量.,则称 与 是等价的无穷大量.,例1、,例2、,例3、,例4、,性质2.13,常用等价无穷小:,例,证：,例,证：,例,解,例,解,因此,错,正,例,解,解,Key:,定义2.8,性质2.11,性质2.12,例,解,P51/23(4)29(2,4,5,8),解,例.,由无穷小与函数极限的关系 可知:,
