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2.7 闭区间上连续函数的性质,一、最值定理、有界定理,二、 介值定理,三、 小结,一、最大值和最小值定理,定义,(1)设函数 在区间 上有定义;,(2) 如果存在 ,满足对 有,则称 是 在区间 上的最大值(最小值).,例如,定理1(最值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,1)若函数在闭区间上不连续,结论不一定成立;,2)将定理中的开区间换成闭区间结论也 不一定成立.,注:,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,例如，,在区间,上连续,则,注意:定理条件必须满足,否则结论不成立.,在区间 上有界.,二、介值定理,定义,定理3 (零点定理) 设,(2),则至少存在一个,(1),几何解释:,上, 至少存在一个根.,连续曲线弧,例如右图：,如果 使,则称 为函数 的,零点,连续,定理4 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例1,证,由零点定理,使,即,成立. 所以方程,有一个根,由零点定理,即,证,而,连续.,三、小结,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理; 零点定理（根的存在性定理）,题型: 利用零点定理证明根的存在性.,作业： P 10,练习,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,
