《闭区间上连续函数的性质（30）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《闭区间上连续函数的性质（30）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第四节,一、最值定理,二、介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间上连续函数的性质,第一章,一. 有界性及最值定理,1. 最值的概念,设 f (x) 定义在区间I上, 若存在,使得对任意,有,则称,为 f (x) 在区间 I 上的最小值,大,例如：,在区间,上的最大值为,最小值为,小结 目录 上页 下页 返回 结束,为最小值点.,大,在(0, 1 上的最小值为 f (1)=1,无最大值,在,上的最大值为f (1)=1,无最小值,在,上既无最大值,也无最小值,在,上的最大值和最小值均为c,小结 目录 上页 下页 返回 结束,2.最值定理,定理2.11.,即: 设,则,使,最大值和最
2、小值.,闭区间上的连续函数在该区间上一定有,(证明略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,或在闭区间内有间断,点 ,定理2.12.,由定理2. 11 可知有,证: 设,上有界 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理2.13:,在闭区间上的连续函数必取得介于最小值和,最大值之间的任何值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论：若,至少有一点,且,使,( 证明略 ),证,例1 利用介值定理证明方程 x33x2
3、x 3 0在区间(2, 0) (0, 2) (2, 4)内各有一个实根,根据介值定理推论可知存在1(2, 0) 2(0, 2) 3(2, 4),设f(x) x33x2x 3 可计算出,f (2) 0 f (0) 0 f (2) 0 f (4) 0,由于三次方程只能有三个根 在所以各区间内只存在一个实根,这表明1 2 3 为给定方程的实根,使 f (1)0 f (2)0 f (3)0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2：证明：方程 x = a sinx + b (a 0, b 0)至少有一个不超过 a + b 的正根.,证：问题归结为在(0, a+b上求方程的根的问题.,而 f (0) =
4、 0 a sin0 b = b 0,f (a+b)=(a+b) a sin(a+b) b,设 f (x) = x a sinxb , x0, a+b,显然 f (x)C(0, a+b),机动 目录 上页 下页 返回 结束,=a(1sin(a+b),0,1) 如果 f (a+ b)0，则 = a+ b 就是方程的根.,2) 如果 f (a+ b) 0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则f (0) f (a+b)0，,由介值定理,至少存在一个(0, a+b)，,使得 f ( )=0.,综上所述，方程在(0, a+b上至少有一个根, 即至少有一个不超过 a+b 的正根.,作业 P53 27，28,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,
