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1、 2 充分条件与必要条件,1.通过具体实例理解充分条件、必要条件、充要条件 2.会判断充分条件和必要条件 3.能证明命题的充要条件.,1.充分条件和必要条件的判断(重点) 2.充分条件和必要条件的区分(易混点) 3.充要条件的判断(重点) 4.证明充要条件时，充分性和必要性的区分(易混点),1命题的基本结构形式是 ，其中 是条件， 是结论 2原命题和它的 命题同真假,若p，则q,p,q,逆否,1充分条件与必要条件,充分,必要,充分,必要,pq,2.充要条件 (1)如果既有 ，又有 ，就记作pq，p是q的充分必要条件，简称 条件 (2)概括地说：如果 ，那么p与q互为充要条件 (3)充要条件的证
2、明：证明充要条件应从两个方面证明，一是 ，二是 ,pq,qp,充要,pq,充分性,必要性,1ab是a|b|的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析： 由ab不一定可推出a|b|，但由a|b|一定可以推出ab. 答案： B,2(2009年天津卷)设xR，则“x1”是“x3x”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析： 当x1时，x3x成立 若x3x，x(x21)0，得x1,0,1；不一定得到x1. 答案： A,3在“x2(y2)20是x(y2)0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是_，结论是_
3、答案： x2(y2)20 x(y2)0,4指出下列各题中，p是q的什么条件？ (1)在ABC中，p：AB，q：BCAC； (2)p：数列an是等差数列，q：数列an的通项公式是an2n1. 解析： (1)在ABC中，显然有ABBCAC， 所以p是q的充要条件 (2)因为数列an的通项公式是an2n1数列an是等差数列，而数列an是等差数列/ 数列an的通项公式是an2n1，所以p是q的必要不充分条件.,1(2011大纲全国卷，3)下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是( ) Aab1 Bab1 Ca2b2 Da3b3,解析： A项：若ab1，则必有ab，反之，当a2，b1时，满足ab
4、，但不能推出ab1，故ab1是ab成立的充分而不必要条件；B项：当ab1时，满足ab1，反之，由ab1不能推出ab；C项：当a2，b1时，满足a2b2，但ab不成立；D项：ab是a3b3的充要条件，综上所述答案选A. 答案： A,2(2011湖南卷，3)“x1”是“|x|1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 解析： 当x1时，|x|1，即x1|x|1，所以“x1”是“|x|1”的充分条件，排除B，D；当|x|1时，则x1或x1/ x1，所以“x1”不是“|x|1”的必要条件，故选A. 答案： A,对充分条件与必要条件的判断，有的可以直接根据定
5、义去判断，有的需要对条件和结论进行必要的化简或变形，再由定义去判断，也可以从集合的关系入手去判断,解题过程,1.给出下列四组命题： (1)p：x20；q：(x2)(x3)0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等 (3)p：m2；q：方程x2xm0无实根 (4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等试分别指出p是q的什么条件,(12分)是否存在实数p，使q：“4xp0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围,2.已知p：x28x200，q：x22x1a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围 解析： p：由x28x200得 (x10)(x2)0 即x10 设px|x1
6、0 q：由x22x1a20得 x(1a)x(1a)0 当a0时，q：x|x1a,当a0，q：x22x1(x1)20 q：x|x1 pq成立 综上，a的取值范围3a3.,(2011陕西卷，12)设nN，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.,答案： 3或4,解答本题首先应分清条件和结论，再证明充分性和必要性,3.试证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号 即方程ax2bxc0有一正根和一负根,1充分条件：“若p则q”为真命题，即pq，则p是q的充分条件 2必要条件：“若q则p”为真命题，即qp，则p是q的必要
7、条件 3充要条件：如果既有pq，又有qp，即pq，则p是q的充分必要条件，简称充要条件，同时q也是p的充要条件，即p与q互为充要条件,1定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断BA或AB是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断 2转换法：当所给命题的充要条件不易判定时，可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进行判断 3集合法：对命题的条件和结论间的关系进行判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记p、q对应的集合分别为A、B，则：,1定义法：分别证明充分性和必要性两个方面在解题时要避免把充分性当必要性来证明的错误，这就需要先分清条件与结论，若从条件推出
8、结论，就是充分性；若从结论推出条件，就是必要性 2等价法：就是从条件(或结论)开始，逐步推出结论(或条件)，但要注意每步都是等价的，即反过来也能推出,注意 证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即qp；证明必要性时则是以p为“已知条件”，即pq.,判断下列各题中的条件是结论的什么条件 (1)条件A：ax2ax10的解集为R，结论B：0a4； (2)条件p：AB，结论q：ABB.,【错解】 (1)a24a0，即0a4， 当0a4时，ax2ax10恒成立，故BA. 而ax2ax10的解集为R时，有0a4，故AB， A是B的充要条件 (2)ABABB，pq， 而ABB时，有AB，BA. p是q的充要条件,【错因】 此类题的易错点是在用定义判断时，忽略了无论是AB，还是BA均要认真考虑是否有反例，这一点往往是判断充分性和必要性的关键，也是难点如(1)题中，往往根据一元二次不等式的解去考虑此题，而忽略了a0时原不等式变为10这一绝对不等式的情况在(2)题中同样容易忽略AB这一特殊情况,
