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1、在数学的天地里,重要的不是我们知道 什么,而是我们怎么知道什么.-毕达哥拉斯,第五章 傅里叶变换,在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的 例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一 积分变换在现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用,所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数,，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量,的积分）
2、,变为另一函数类 B中的函数,这里,是一个确,定的二元函数，通常称为该积分变换的核,称为,的像函数或简称为像，,称为,的原函数,在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的,；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在,偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程,A中所求的解，而且是显式解,像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在,另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:,称函数,为函数,的傅里叶（Fourier）变换，,简称,为函数,的傅氏变换同时我们称,为,的傅里叶逆变换,（2）特别当核函数,（注意已将积分参
3、变量,改写为变量,），当,，则,称函数,为函数,的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称,为函数,的拉氏变换同时我们称,为,的拉氏逆变换,1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。,傅立叶的两个最主要的贡献:,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点,5.1 傅里叶级数,1.傅里叶级数的引进 在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如 的波,其中 是振幅, 是角频率
4、, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.,（一） 周期函数的傅里叶展开,非正弦周期函数:矩形波,不同频率正弦波逐个叠加,由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加,2 三角级数 三角函数系的正交性,三角级数,引例中的简谐振动函数,即:由三角函数组成的函项级数成为三角级数,则(1)式右端的级数可改写为,(2),得到行如(2)式的级数称为三角级数,三角函数系的正交性,(1)三角函数系,即,i),ii),iii),3 函数展开成傅里叶级数,问题,1.若能展开, 是什么?,2.展开的条件是什么?,傅里叶系数,可得,可得,可得,从而
5、得到傅里叶系数,把以上得到的系数代入三角级数,问题:,该级数称为傅里叶级数,三角级数的收敛性定理:,若级数 收敛,则级数,在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.,由M判别法即得定理结论.,证,定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件),注,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,和函数图象为,p,p,-,p,+,-,p,=,0,0,cos,1,cos,),(,1,ktdt,E,ktdt,E,m,m,所求函数的傅氏展开式为,注(一),对于非周期函数,如果函数 只在区间 上有定义,并且满足狄立克雷充分条件,也可展开成傅立叶级数.,作法:,
6、4 正弦级数和余弦级数,一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.,1.定理 设 是周期为 的函数,且可积,则,证明,同理可证(2),2.定义,定理证毕.,解,和函数图象,解,所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续.,非周期函数的周期性开拓,则有如下两种情况,注(二),1.奇延拓,2.偶延拓,解,(1)求正弦级数.,(2)求余弦级数,5 周期函数的傅里叶展开,2l 周期性,光滑函数，且定义域为 则：,作为基本函数族，将,展开为傅里叶级数（即下式右端,级数）,则可取三角函数族：,三角函数组具有正交性,上
7、式称为周期函数,的傅里叶级数展开式（简称傅,氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简称傅氏,系数）,三角函数族是正交的即为：其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，即,其中,利用三角函数族的正交性，可以求得展开系数为,关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：,(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；,（2）在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，,且,在收敛点有：,在间断点有：,狄利克雷（Dirichlet）定理 : 若函数,满足条件：,42,（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开,是奇函数,是偶函数,奇函数 :f(z)则由傅里叶系数的计算公式可见，所有a0和ak
8、均等于零,则有,偶函数: f(z)则由傅里叶系数的计算公式可见，所有b0和bk均等于零,则有,例,周期,矩形波,奇函数,43,44,（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开,f(x) 定义于 (0, l),可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x) 这种做法叫延拓。,例,偶延拓,奇延拓,45,5.2 傅里叶积分与傅里叶变换,由高数知识知，一个以2l为周期的函数f(x)，若在区间-l,l函数满足狄利克莱条件，则在（-l,l）上可展开为傅氏级数。,傅里叶级数的形式为：,46,即：,因此f(x)也可表示为,对于非周
9、期函数f(x)，若将其周期视为无穷大，同样可写出上式，只是此时,47,亦即,傅立叶积分公式,令,则,像函数,原函数,48,（三） 傅里叶变换的基本性质,(1) 导数定理,(2) 积分定理,49,(3) 相似性定理,(4) 延迟定理,(5) 位移定理,(6) 卷积定理,若,和,则,卷积,(7) 像函数卷积定理,典型例题,解,所给函数是奇函数,其Fourier变换为,.,|,|,0,|,|,sin,2,d,1,sin,sin,|,|,0,|,|,sin,),(,1,0,2,=,-,=,+,p,p,p,w,w,w,wp,p,p,t,t,t,t,Fourier,t,t,t,t,f,并证明,变换,的,计
10、算函数,例,再由Fourier积分公式得,.,|,|,0,|,|,sin,2,d,1,sin,sin,0,2,=,-,+,p,p,p,w,w,w,wp,t,t,t,t,即,解,所给函数是偶函数,其Fourier变换为,.,cos,2,d,cos,4,2,cos,),(,2,|,|,0,4,2,|,|,t,e,t,Fourier,t,e,t,f,t,t,-,+,-,=,+,+,=,p,w,w,w,w,并证明,变换,的,计算函数,例,再由Fourier积分公式得,.,cos,2,d,cos,4,2,|,|,0,2,2,t,e,t,t,-,+,=,+,+,p,w,w,w,w,即,解 法一,利用位移性质,再由微分性质,法二,所以由卷积公式,及,由,解,),(,),(,sin,0,0,0,w,w,d,w,w,d,p,w,-,-,+,=,i,t,F,解,解,
