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1、1,8.2 二重积分的计算法,8.2.1 利用直角坐标计算二重积分,当积分区域是X型区域时,当积分区域是Y型区域时,2,解,应先对x积分，后对y积分,3,应先积y ，后积x,评注 本例中两题不能交换积分次序，因为先积分的原函数不能用初等函数表达出来，从而二重积分计算不出来.,解 积分区域如图所示,4,例5 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积.,解 设两圆柱面方程分别为,利用立体关于坐标面的对称性， 只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以8就行了.,x2+y2=R2 及 x2+z2=R2,第一卦限部分可看成是一个曲顶柱体，它的底为,顶是柱面,5,利用公式 (1)，得,6,
2、8.2.2 利用极坐标计算二重积分,有些二重积分, 积分区域D的边界用极坐标方程来表示较方便，且被积函数用极坐标变量r、表达较简单, 这时可利用极坐标来计算二重积分.,下面研究这个和式极限在极坐标系中的形式.,1、极坐标系下二重积分的形式,假定从极点O出发穿过区域D的射线与D的边界相交不多于两点.,7,除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积i可计算如下：,8,在这小闭区域 内， 任取圆周 上的一点 ，该点的直角坐标 设为,公式中的 称为极坐标系下的面积元素， 记作,9,2、如何化为两次单积分,积分顺序：一般是先积 后积,定限的方法：依D的特点,10,D的面积可表为,11,(1),12,
3、(2),13,(3),14,15,16,17,18,解 积分区域D的图形,D：0 a, 0 2,19,D2,S,D1,20,例4 求球体 x2+y2+z2 4a2被圆柱面x2+y2=2ax(a0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.,D,21,22,23,解 由被积函数的对称性，可只考虑第一象限部分,24,8.2.3* 二重积分的换元法,将直角坐标系下二重积分化为极坐标系下的二重积分本质上是一种变量代换，即极坐标变换。,积分区域的变换：将直角坐标系中的扇形域D变为极坐标系中的矩形域D1,25,由此得,一般地，讨论二重积分的坐标变换：,应分析uv平面上区域D1与xoy平面上区域D的变换及面积元素之间的关系，然后将uv平面上的二重积分化为二次积分.,26,定理8.2.1 设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,公式（5）称为二重积分的换元公式。,27,称为广义极坐标变换，在此变换下区域D对应区域D1为,28,面积,29,
