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1、1,1.2 线性移不变系统 Linear Shift-Invariant(LSI) System,主要内容 离散时间系统及其表示方式 系统的线性、移不变性、因果性和稳定性 卷积和运算 线性移不变系统的性质,2,离散时间系统及其表示方式,定义：对输入序列做某种运算后输出另一个序列的设备，可表示为： 为输入序列， 为输出序列,3,离散时间系统举例,举例：,理想延时系统,滑动平均系统moving average system,4,下面等式不一定成立,设 ，则,T只是一个表示系统的符号，不是一个具体的公式。上面等式两边的含义是不同的,5,线性系统,概念：满足叠加原理(superposition pri
2、nciple)的系统称为线性系统。叠加原理可分为两个特性： 可加性additivity： 齐次性homogeneity：,为任意常数,6,线性系统,上述两个特性也可综合表示为： 可证明：对于线性系统下式成立,可用归纳法,7,线性系统分析举例,给定系统 （1） （2） （3） 判断系统是否是线性系统,Yes,Yes,No,8,移不变系统,输入序列的移位仅引起输出序列做相同移位的系统，表示为：,9,移不变系统分析举例,给定系统 （1） （2） 判断系统是否是移不变系统,Yes,No,10,线性移不变系统,同时具有线性和移不变性的系统称为线性移不变系统（Linear shift invariant,
3、 LSI），也可称为线性时不变系统（LTI） LTI系统是数字信号处理中主要研究的系统，除非特别指明，一般的系统都是LTI的,11,系统的因果性Causality,输出序列在 的值仅与输入序列在 的值有关，这种系统称为因果系统 因果系统反映了因在前（输入在前），果在后（输出在后）的逻辑特点，也是保证实时系统可实现的必要条件。,12,系统的因果性Causality,判断：前向差分系统和后向差分系统，哪个是因果系统？,13,系统的稳定性Stability,任意输入序列，只要它是有界的，系统输出一定也是有界的，称为稳定系统，BIBO, Boundary input, boundary output
4、累加器系统是稳定的吗？ 稳定系统是保证系统输出无害或不饱和的关键,No.,14,总结系统的四大特性,线性系统： 满足叠加原理 移不变系统： 输入移位，输出也做相同移位 因果系统： 因在前（输入在前），果在后（输出在后） 稳定系统： 输入处处非无限，则输出也处处非无限,15,系统的单位冲激响应,定义：当输入序列为单位冲激序列时系统的输出称为系统的单位冲激响应，简称为冲激响应，表示为： 所有系统都有单位冲激响应，但是只有LTI系统的单位冲激响应才具有重要意义 给出累加器系统的单位冲激响应？,16,系统的单位冲激响应,在时域，除了用输入输出关系式表示一个LTI系统外，还有什么更好的方式来表示一个LT
5、I系统？ 证明：一个LTI系统，当输入任意序列 ，输出序列为： 结论：在时域一个LTI系统可以完全用它的单位冲激响应来表示,17,卷积和运算,输入序列、单位冲激响应和输出序列三者之间的这种运算称为卷积和运算Convolution Sum，表示为： 这是序列在时域中的一种重要的运算 判断下式是否成立：,18,卷积和运算,卷积和的一种理解方式： 卷积和看成单位冲激响应的移位加权和 类似于任意序列表示为冲激序列的移位加权和,19,两个序列的卷积和运算,卷积和的另一种理解方式： 把序号n当做某常数，把 和 当作两个以k为变量的序列，把这两个序列先相乘，然后将所有乘积相加，得到序号为n时的输出序列值 这
6、种方式可用于逐个计算输出序列值,20,LTI系统的因果性,LTI系统是因果系统的充分必要条件是 任何满足上述关系的序列称为因果序列,21,LTI系统的稳定性,LTI系统是稳定系统的充分必要条件是 任何满足上述关系的序列称为绝对可和序列,22,LTI系统因果稳定性证明举例,已经知道累加器系统为LTI的，判断累加器系统的因果性和稳定性：,因果非稳定系统,23,LTI系统因果稳定性证明举例,判断下面LTI系统的因果性和稳定性：,因果稳定系统,24,几何级数,几何级数（等比级数）无限项之和： 有限项之和：,25,卷积和运算满足的三个定律,交换律： 结合律：,两个系统前后相连称为系统级联,26,卷积和的
7、三个定律,分配律：,两个系统输入相同，输出相加，称为系统并联,27,补充：相关性运算,两个序列的相关性运算： 可证明：相关性运算与卷积和运算的关系为 自相关：,28,补充：卷积和的矩阵-矢量形式,两个序列的卷积和可以用矢量与矩阵相乘的形式来表示 设两个序列为： 可证明输出序列 的序号范围为：,29,补充：卷积和的矩阵-矢量形式,将x(n)和y(n)写成列矢量： 可得： H为由h(n)形成的Toeplitz矩阵 卷积和的这种形式经常在一些数学分析中遇到,30,复习,写出LTI系统的输入输出关系式？ LTI系统在时域可完全用什么来表示？,31,复习,LTI系统为因果系统的充分必要条件是？ LTI系统为稳定系统的充分必要条件是？,32,证明,33,证明下面结果,证明：累加器系统和后向差分系统的级联等价于一个直通系统,两个系统级联后等价为直通系统时，此两个系统互为逆系统,34,复习,分别给出线性系统和移不变系统的数学描述,
