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1、第八章 空间问题的解答,本章将介绍空间问题求解的基本方法按位移求解和按应力求解。主要内容如下： 1、按位移求解空间问题； 2、按位移求解空间问题的应用（半空间体受重力和均布压力、半空间体在边界上受法向集中力）； 3、按应力法求解空间问题；,本章学习指南,本章学习指南,弹性力学一般空间问题的未知数为15个：6个应力分量、6个应变分量、3个位移分量。基本方程数为15个，此外还有边界条件和变形协调方程。,空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、基本方程、边界条件和求解方法均是类似的； 空间问题的两种基本解法（按位移和按应力）与平面问题相比，在思路和步骤上极其相似，可参照平面问题来学习和理解； 对于
2、空间问题，位移法比应力法更重要。它能适用于各种边界条件，并且基本未知函数数目相对更少；,按位移求解空间问题 半空间体受重力和均布压力 半空间体在边界上受法向集中 按应力求解空间问题,主要内容,8.1 按位移求解空间问题,按位移求解：以 3 个位移分量为基本未知函数，从 15 个基本方程和边界条件中消去应力分量和应变分量，导出只含 3 个位移分量的基本微分方程和边界条件，由此解出位移分量。然后根据几何方程和物理方程求应变分量和应力分量。,按位移求解空间问题具体过程,以 3 个位移分量为基本未知函数。为了消元，其它 12 个未知函数须用 3 个位移分量表示；,1、应变用位移表示：直接采用几何方程(
3、7-8) ； 2、应力用位移表示：将几何方程(7-8)代入用应变表示的物理方程(7-14)，得到用位移表示的物理方程(8-1) ； 3、求解位移的最基本方程：将上述弹性方程(8-1)代入平衡微分方程(7-1)，可得用位移表示的平衡微分方程(8-2)， 它是按位移求解的最基本方程； 4、边界条件用位移表示：将式(8-1)代入应力边界条件(7-5)，得到用位移表示的应力边界条件；对于位移边界条件，其形式不变，仍然用式(7-9)表示；,按位移求解空间问题总结,（1）使位移分量在区域内满足用位移表示的平衡微分方程(8-2) ； （2）同时在边界上满足用位移表示的应力边界条件(7-5)或位移边界条件(7
4、-9) 。 上述条件也是位移解的校核条件。,求解出位移分量后，代入几何方程(7-8)求应变分量，代入方程(8-1)求应力分量。,空间问题按位移求解的方法，位移满足条件为：,按位移求解空间问题总结,总之，其位移满足条件为：（1）在区域内满足平衡微分方程(8-4) ；（2）在边界上满足用位移表示的应力边界条件(7-5)或位移边界条件(7-9) 。 上述条件也是位移解的校核条件。 求解出位移分量后，代入几何方程求应变分量，代入方程(8-3)求应力分量。,空间轴对称问题按位移求解：此类问题基本方程(7-15)、 (7-16)、 (7-17)和基本未知函数都简化为 10 个。按位移求解的推导过程与上面完
5、全相同，只不过方程的个数及具体形式不同。并且，其边界面多为坐标面，边界条件相对简单。,按位移求解空间问题 半空间体受重力和均布压力 半空间体在边界上受法向集中 按应力求解空间问题,主要内容,8.2 半空间体受重力和均布压力,如图所示，有半空间体，密度为r，在水平边界上均布压力q。,显然，它属于空间问题。坐标系如图所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函数为三个位移分量，必须满足：,（1）在区域内满足用位移表示的平衡微分方程（8-2）； （2）同时在边界上满足用位移表示的应力边界条件(7-5)或位移边界条件(7-9) 。,半空间体受重力和均布压力,1、如图可知，该问题具有对称性，任何x和y面均为
6、对称面，而x和y向的位移本身不对称于任意垂直平面，故可作如下假设：,2、将上述位移代入用位移表示的平衡微分方程（8-2），前两式自然满足，第三式经整理后成为如下的常微分方程：,积分得：,半空间体受重力和均布压力,3、求应力分量：将所求得的位移代入用位移表示的物理方程（8-1），整理得：,为了求得常数B，必须利用位移边界条件。为此假定半空间体在距边界为h处没有位移，即有如下位移边界条件：,4、由边界条件确定选定常数A和B,代入可解得常数A：,由此解得常数B，进而求得所有的应力分量、应变分量、位移分量。,上边界面上的边界条件为：,按位移求解空间问题 半空间体受重力和均布压力 半空间体在边界上受法向
7、集中 按应力求解空间问题,主要内容,8.3 半空间体在边界上受法向集中力,如图所示，有半空间体，体力不计，在水平边界上受法向集中力F。,显然，它属于空间轴对称问题，其对称轴就是集中力的作用线。坐标系如图所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函数只有两个位移分量，且与环向坐标 j 无关，只是径向坐标 r 和轴向坐标 z 的函数。它们必须满足：,1、在区域内满足用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程，教材中的公式（a）；,半空间体在边界上受法向集中力,由于集中力作用在原点，本题的边界条件应分为两部分考虑： （1）不包含原点，则在r0 ， z= 0 的边界面上，没有任何法向和切向面力作用，因而应力
8、边界条件为,2、在边界上满足如下边界条件：,（2）在原点附近，可以看成是一局部的小边界面。在此小边界处有面力的作用，而面力可以向原点静力等效为作用于原点的主失量为 F ，主矩为 0 的情形。按照圣维南原理来进行处理，取一个 0 到 z 的平板脱离体，考虑其静力平衡条件，得到一个平衡方程，即教材式（C）；由于轴对称，其余平衡条件自然满足。,3、布西内斯克满足上述所有条件的解答：见教材的公式（8-6）、（8-7）,（b）,半空间体在边界上受法向集中力,上述解答其应力分布特征如下： 1、在离开集中力作用点非常远处，应力非常小；在靠近集中力作用点处，应力非常大。 2、水平截面上的应力与弹性参数无关，因
9、而在任何材料的弹性体中都是同样分布。其它截面上的应力一般都随泊松比而变。 3、水平截面上的全应力都指向集中力的作用点。,利用上述半空间体在边界上受法向集中力时的解答，根据叠加原理，可求得由法向分布力所引起的位移和应力解答。,按位移求解空间问题 半空间体受重力和均布压力 半空间体在边界上受法向集中 按应力求解空间问题,主要内容,8.4 按应力求解空间问题,按应力求解：以 6 个应力分量为基本未知函数，从 15 个基本方程和边界条件中消去位移分量和应变分量，导出只含 6 个应力分量的基本微分方程和边界条件，由此解出应力分量。然后根据物理方程和几何方程求应变分量和位移分量。,按应力求解空间问题具体过
10、程,以 6 个应力分量为基本未知函数。为了消元，其它 9 个未知函数须用 6 个应力分量表示；,1、三个平衡微分方程，只包含应力分量，它是按应力求解的最基本方程；,2、从几何方程中消除位移分量：利用几何方程，进行有关数学运算，可得到6个应变分量之间的关系式，即变形协调方程或相容方程，即教材中的式(8-10)和(8-11)；,3、将物理方程(7-12)代入上述相容方程(8-10)和(8-11) ，可得用应力分量表示的相容方程(8-12)， 或无体力情况下的式(8-13) ；,4、假设全部边界都为应力边界条件，则在边界上应满足应力边界条件(7-5) ；,按应力求解空间问题总结,空间问题按应力求解的
11、方法：使6个应力分量在区域内满足3个平衡微分方程(7-1) ，满足6个相容方程(8-12) 和 (8-13)；同时在边界上满足3个应力边界条件(7-5)。此外，若为多连体，还必须满足位移单值条件。,求解出应力分量后，代入物理方程求应变分量，代入几何方程求位移分量。,按应力求解空间问题总结,关于空间问题的相容方程的几点说明： （1）弹性体在满足连续性和小变形条件下，可导出几何方程，并进而导出应变之间的相容方程。因此相容方程是物体变形后保持连续性的必然结果。位移完全确定时，应变可完全确定。 （2）应变完全确定时，位移不能完全确定。但如果应变分量满足相容方程，则其所对应的位移分量必然存在，并可通过积分求出。因此，应变满足相容方程是对应的位移存在且连续的必要条件。,
