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1、第一节 定积分的概念与性质,一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质,引例1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数f(x)在区间a,b(ab)上非负且连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称为底边.,问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.,一、引入定积分概念的实例,求曲边梯形的面积A的具体做法：,(1)分割 在(a,b)内插入n1个分点,过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴的平行线，将曲 边梯形分割成n个小曲边梯形.,记每一个小区间 的长度为
2、,把区间a,b分成n个小区间,我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变速直线运动的路程的问题.,以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念.,定义,二、定积分的概念,定积分(简称积分),其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间.,根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述：,曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积 分，即,质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置
3、a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在a,b上的定积分，即,定积分的存在定理,如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积.,关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的记法无关.即有,(2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了 今后的使用方便，对于 时作如下规定：,如果在a,b上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.,如果在a,b上 ，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x
4、轴的下方，则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.,三、定积分的几何意义,如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.,性质1,设函数f(x)，g(x)在a,b上可积,两个函数代数和的定积分等于它们定 积分的代数和，即,性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即,四、定积分的性质,如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b，则,性质3,性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个 性质可以用于求分段函数的定积分.,当c在区间a,b 之外时，上面表达式也成立.,利用定积分的几何意义，
5、可分别求出,例1,解,性质4,性质5,特别的,性质6 (定积分估值定理),证明,例2,解,性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点 ，使下式成立,证明 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有,即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.,性质7的几何意义：,如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值.,如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t), t为时间，则 表示该地、该日的平均
6、气温.,如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x), (a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流 在该截面处的平均水深为 .,第二节 定积分基本公式,一、变上限的定积分 二、微积分学基本定理,设函数f(x)在区间a,b上连续，则对于任意的x ( )，积分 存在，且对于给定的x( )，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数.,注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，因此常记为,一、变上限的定积分,定理1,证明,由积分中值定理有,结论：变上限积分所确定的函数
7、 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).,由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.,定理2(微积学基本定理),证明,二、微积分基本定理,上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.,牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.,例2,解,例3,解,例4 求,例6 求,解,第三节 定积
8、分的积分方法,一、换元积分法 二、分部积分法,定理 设函数f(x)在区间a,b上连续，而 满足下列条件：,上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.,(2)当t在与之间变化时， 单调变化且 连续，则,一、定积分的换元积分法,注意：,(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.,(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量.,(3)新变元的积分限可能，也可能，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 .,例1 求,解,方法二,例4 求,解,例7,证明,例7表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于
9、区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.,例8,解,例9 证明,证明,应用分部积分公式计算定积分时,只要在不定积分的结果中代入上下限作差即可.若同时使用了换元积分法,则要根据引入的变量代换相应地变换积分限.,二、定积分的分部积分法,例10,解,例12 求,解,例13 求,解,第四节 广义积分,一、无穷区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分,函数f(x)在无穷区间 上的广义积分， 记作 ， 即,定义1,若上述等式右端的极限存在,则称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分 发散.,一、无穷区间上的广义积分
10、,类似地，无穷区间 上的广义积分定义为,无穷区间 上的广义积分定义为,上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.,例1 求,解,例2 求,解,所以，广义积分 收敛，且,例3,证明,若上式右端极限存在，则称广义积分 收敛.如果上述极限不存在，就称广义积分发散.,定义2 设函数f(x)在(a,b上连续，且,极限,称为无界函数 在(a,b,上的积分,记为,二、无界函数的广义积分,类似地，函数f(x)在a,b)上连续，且 广义积分定义为,如果极限,存在，则称广义积分 收敛.如果上述极限不存在，就称广义积分 发散.,此时，如果上式右端两个广义积分 都收敛，则称广义积分 收敛，否则称广义积 分 发散.,上述三种积分统称为无界函数的广义积分, 也称为瑕积分.,函数f(x)在a,b上除点x=c(a,b)外都连续，且 ，则广义积分定义为,例5 计算,解,由于上面两个极限都不存在,所以 发散.,例7,解,
