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1、2009年高数第二学期 期中考前指导,2009年高数第二学期期中考试考点,1、多元函数微分 （1）多元复合函数求微分（包括2阶偏导）； （2）隐含数求偏导； （3）会利用全微分求偏导； （4）多元函数极值求解（无条件极值和有条件极值）； （5）会求切平面和法线方程，会求切线与法平面方程；,2、重积分 （1）直角坐标系下计算二重三重积分； （2）二三重积分交换积分次序 （3）极坐标、柱面坐标、球坐标下计算二重三重积分；（4）计算曲面面积、质量、重心坐标、引力、转动惯量；,2009年高数第二学期期中考试考点,3、线面积分 （1）第一二类曲线积分的直接计算； （2）利用第一类和第二类曲线之间的关系计
2、算题目； （3）格林公式； （4）曲线积分与路径无关条件； （5）第一二类曲面积分的直接计算； （6）两类曲面积分之间的关系计算题目； （7）高斯公式；,多元复合函数微分法,定理1 设 和 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 在点x可导,且,注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.,全导数,2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图（ 结构示意图）.,结构示意图,例如:,定理2 设 和 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,v)可微,则复合函数 在 点(x,y)可偏导,且,复合函数的高阶偏导数,注意:,结构示
3、意图 遗传性,全微分形式不变性,若,则对,全微分形式不变性,注：,可以利用全微分形式不变性及微分法则求微分和偏导数.,例,解,求,方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,（注意梯度是一个向量）,将二元函数z = f(x , y)在点(x , y)的以下七个命题填入框图： （1）有定义 （2）有极限 （3）连续 （4）偏导存在 （5）方向导数存在 （6）偏导连续 （7）可微,（6）,（7）,（3）,（4）,（5）
4、,（1）,（2）,七框图,问题：箭头是否可逆？不可逆的试举出反例。,多元函数微分学的几何应用,一. 空间曲线的切线和法平面,切线,当M 沿曲线L趋向于 时,割线 的极限位置,法平面,过 而垂直于切线 的平面,1.设曲线,导数不全为零,即,切向量,切线方程,法平面方程,2.设曲线,将x视为参数,切线方程,法平面方程,二.曲面的切平面与法线,若曲面 上过点 的任意曲线的切线都位于同一平面.,切平面,过 且与切平面垂直的直线,法线,1.设曲面方程为,在该点偏导数连续且不全为零.,切平面的法向量,切平面,法线,多元函数的极值,反之,为极小值.,极值,极值点,定理1(极值必要条件),设z=f(x,y)在
5、点 具有偏导数且有极值,则,驻点,注:(1).由偏导数及一元函数极值易证;,(2).,(3).驻点不一定是极值点.,定理2 ( 极值充分条件 ),设 z=f(x,y)在点 的某邻域内具有二阶连续偏导数 且,记,时,不一定是极值.,时,不是极值;,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,例1 函数,提示,则,(96考研),曲线积分,曲面积分,对面积的 曲面积分,对坐标的 曲面积分,对弧长的 曲线积分,对坐标的 曲线积分,定义,计算,定义,计算,（一）曲线积分与曲面积分,曲 线 积 分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,联系,计 算,
6、三代一定,二代一定 (与方向有关),与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,曲 面 积 分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,定义,联系,计 算,一代,二换,三投(与侧无关),一代,二投,三定向 (与侧有关),定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,(二)、各种积分之间的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,4.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,.,例3,利用对称性（轮换对称性）化简 二重，三重，线面积分,利用对称性化简
7、三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于相应变量的奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,例5 设有一物体，占有空间 在点 处的密度为 ， 求该物体的质量.,三重积分的轮换对称性，当 对 可以轮换时，,解,注:选择合适的坐标系是计算三重积分的关键,(1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;,一般的:,(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如 常选择球面坐标系.,(2).区域由圆柱面围成,被积函数形如 常选择柱面坐标系;,解,注：,例7,证：方法一,思路：从改变积分次序入手,例7,方法二,对弧长的曲线积分与方向无关，
8、可以利用对称性简化计算,设L 关于 x 轴对称,若 f( x ,y ) 关于 y 是奇函数，,即,则,若 f( x ,y ) 关于 y 是偶函数，,即,则,其中L1 是位于对称轴一侧的部分,对弧长的曲线积分与方向无关，可以利用对称性简化计算,设L 关于 y 轴对称,若 f( x ,y ) 关于 x 是奇函数，,即,则,若 f( x ,y ) 关于 x 是偶函数，,即,则,其中L1 是位于对称轴一侧的部分,例8,解,由对称性, 知,解,由 知,例9,例 10 计算,其中由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,若顺时针方向 又如何？,例11 (
9、06,一,二)设在上半平面 D= 内,函数 具有连续偏导数,且对任意的t0都有,对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有,证明:,得,令 ，得,证明:,再令 所给曲线积分等于0的充分必要条件为 令 要求 成立,只要 上式我们已经证明. 于是结论成立。,例12 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,例13. 设S 是球面,的外侧 , 计算,解: 利用轮换对称性, 有,例14.设质点在力场,作用下沿曲线 L :,由,移动到,求力场所作的功W,解:,令,则有,可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,思考: 积分路径是否可以取,取圆弧,为什么？,注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关 !,例15,求力,沿有向闭曲线 所作的,功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,设三角形区域为 , 方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,例16 计算曲面积分,其中,解:,例17,解,
