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1、第三节 向量值函数在定向曲线上的积分,（第二类曲线积分）,本节要点,一、第二类曲线积分的概念,二、第二类曲线积分的计算方法,在第一节中, 讨论的是对弧长的曲线积分, 这是一类,1.定向曲线及其切向量,一、第二类曲线积分的概念,无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等,均与方向无关. 在这一节中, 我们讨论与“方向”有关的,曲线积分.,若曲线 由参数方程给出:,注意到 对应曲线的起点, 对应曲线的终点.,给定一条曲线, 并规定了走向, 如此曲线称为定向曲,线. 当起点为 终点为 一般用 表示该曲线,弧.,定向曲线 的参数方程又可用向量方程的方式,设曲线 是光滑的, 在每一点切线有两个方向
2、,来表示:,规定: 定向光滑曲线上各点处的切,向量的方向与曲线的走向一致.,设光滑曲线 由参数方程给出, 若参数 从小变大,确定了曲线的走向. 则对任意增量 当 时, 点,与曲线的方向一致: 若 向量,在点,前方, 从而向量,仍与曲线的方向一致. 因而切向量为,同理, 若参数 从大到小确定了曲线的走向, 则切向量,为,故, 单位切向量为,例1 设曲线,求任意一点处的单位,切向量.,解 在任意点处的切向量为,2.变力沿曲线的作功问题,的作用, 求在移动过程中, 力 所作的功.,设一质点从点 沿光滑的平面曲线 移动到点 在移,分析 若力 是常力, 曲线为直线, 则功 为,若 是变力, 运动轨迹为曲
3、,动过程中, 质点受到力,线弧 则用 上的点, 将,于是，,在弧段上任取一点 由假设力 是连续的, 故力,是光滑的, 故可近似地将弧段视为长度为 的直线段,曲线弧分成 个小弧段, 对小弧段 由条件, 曲线,在小弧段上作的功近似为,抽去具体的物理意义, 即得到下述概念.,其中 表示定向曲线在点 处的单位切向量.,力沿定向曲线弧 所作的功, 即,令 则当 时, 上式的极限即为变,第一类曲线积分. 即,又注意到, 上式右端的极限为数量值函数在曲线 上的,3.第二类曲线积分的定义,定义 设 是 平面上一条光滑的定向曲线弧, 向量,在 上有界, 是定向曲线 在点 处的单位,值函数,位切向量, 如果积分,
4、即:,存在, 则称此积分为向量值函数 在定向曲线,上的积分, 记为,注 向量值函数在定向曲线上的积分又称为第二类曲线,积分.,也称为对坐标的曲线积分.,4.第二类曲线积分的积分表达式,设向量值函数,则,曲线 在点 处的单位切向量为 即,若记,由此得到第二类曲线积分的另一种表达式,上式又经常表达为,在积分表达式中, 称为定向弧元素: 由于,曲线积分. 若 是封闭曲线, 则积分经常表达为,故记号 分别称为定向弧 的投影元素, 又称为定向,弧元素 的坐标, 因此第二类曲线积分又称为对坐标的,5.积分性质,一定存在, 且,若 在分段光滑曲线 上连续, 则曲线积分,若 是 的反向曲线, 则,即: 改变曲
5、线方向则积分变号.,二、第二类曲线积分的计算方法,第二类曲线积分可通过下面的转换方法转换成定积分,若平面定向曲线 的方程为,函数 在 上连续, 则,加以计算.,当 时,设 是定向曲线弧在点 处的单位切,向量, 则由,故,又因,故,而当 时,同样有,由此得到:,由此得到, 无论 的大小关系如何, 总有,特殊地, 若平面曲线由方程 则,设向量函数 空间定向曲线,为曲线在点 处的单位切向量, 则积分,称为向量值函数在空间曲线 上的第二类曲线积分（又,平行地可以定义三元向量值函数在空间定向曲线 上,的第二类曲线积分.,称为对坐标的曲线积分）.,若:,则,对空间曲线, 若曲线方程为,则相应的积分公式为,
6、例1 求,其中 自 到 的定向曲线弧.,解,例2 求,解 将 分成两段 和,自 到 的折线段.,其中,则,所以,例3 求,解 的方程: 则,的直线段.,为从 到,例4 求,其中 为从 到,解 积分曲线为 故,的直线段.,例5 求,其中 自 到 的定向曲线弧.,解 的参数方程为,所以,解 ,例6 求作用力,沿 轴自 到 再沿直线到,沿 自 到,沿下述路径所作的功,而在曲线上, 有,例7 由 确定一力场, 质点沿柱面,与平面 的交线从,解 由第二类曲线积分的物理意义, 得场力所作的功,移动到点,求场力作的功.,为,例8 试把第二类曲线积分,解 切向量为 单位切向量为,故上面的积分为,化为对弧长的曲线积分, 其中 为曲线,相应于 从0到1的弧段.,例9 求,其中 为从,解 线段 的参数方程为,相应的积分为,的线段.,到,解 线段的参数方程,例10 求,为 的一条折线.,其中,例11 计算积分,中 为圆柱面,的交线. 从 轴正向看取逆时针方向.,解 将曲线方程化为参数方程:,由积分公式, 得,其,与,例12 计算曲线积分,其中 为连,及,解,经圆弧,的那一段.,例13 求,1.,2.,3. 从 再沿,其中,解 ,曲线为两线段连接而成的, 故,上例中, 函数在两个定点沿不同曲线的积分值相同, 如,果令,则有,这是否能成为一般的判定条件?,在下一节中我们将全面,讨论这个问题.,
