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1、,动量定理的回顾,动量定理：,质心运动定理：,当质心为固定轴上一点时，vC= 0，则其动量恒等于零，质心无运动。此时，应用动量定理无法解释物体转动与受力之间的相互关系,需要讨论动量矩定理,第十二章 动 量 矩 定 理,质点的动量对点O的矩,12-1 质点和质点系的动量矩,1质点的动量矩,（矢 量）,方向： 右手螺旋法则,大小:,12-1 质点和质点系的动量矩,1质点的动量矩,对 z 轴的动量矩,（代数量）,结论:力对点之矩的矢量在某一轴上的投影,等于这一力对该轴之矩,力对轴之矩与力对点之矩的关系,质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩,单位:kgm2/s,已知：m，r，w，vr
2、。,求：MO(mv)。,解：,1. 对定点“O ”的动量矩:,2.对定轴 “z” 的动量矩:,3.两者之间的关系：,即,2质点系的动量矩,mi,m,（2） 刚体绕定轴转动,转动惯量,12-2 动量矩定理,1质点的动量矩定理,设O为定点,有,其中:,（O为定点）,投影式:,因此,则,若作用于质点上的力对某定点(或某定轴）的矩为零，则质点对该点（或轴）的动量矩保持不变质点动量矩守恒定律。,2、守恒形式,得,称为质点系的动量矩定理:质点系对某定点O 的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的 外力对于同一点的矩的矢量和.,2. 质点系的动量矩定理,由于,投影式:,内力不能改变质点系的动量矩.,2、 守
3、恒形式,若,即：当质系所受合外力对某定点（或某定轴）的矩为零，则质系对该点（或该轴）的动量矩保持不变 质点系动量矩守恒定律。,解:,由 , ， 得,例2 两个鼓轮的总质量m，对水平转轴O的转动惯量JO ；鼓轮的半径是 r1 和 r2 。绳端悬挂的重物 A和 B 质量分别是 m1 和 m2 ，且 m1 m2。试求鼓轮的角加速度。,1、选系统（含鼓轮，重物 A , B）为研究对象,解:,2、运动分析,设鼓轮的角速度为w，,物 A的速度：v1= r1w,物 B的速度：v2= r2w,3、受力分析,重力 mg，,m1g ，,m2g,轴O处约束力 FO,力矩:,4、应用动量矩定理,转向为逆时针,求：剪断
4、绳后, 角时的 .,例3：两小球质量皆为 ,初始角速度,时,时,由 , 得,解：,例4 均质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。,求：重物下落的加速度,解：设圆轮的角速度和角加速度分别为 和 ，重物的加速度为aP。,圆轮对O轴的动量矩,重物对O的轴动量矩,系统对O的轴总动量矩,系统对O的轴总动量矩,应用动量矩定理,其中,aP=R,12-3 刚体绕定轴的转动微分方程,主动力:,约束力:,即:,或,或,转动 微分 方程,1、 当 Mz(Fie) = 常量，因为Jz 不变,所以 =常量, 刚体作匀变速转动,2、当 Mz(Fie) = 0，因为Jz 不变，所以
5、=0, 刚体作匀速转动,3、当 Mz(Fie) = 常量，Jz 、 ；反之Jz 、 。,表明Jz的大小，反映了刚体转动状态改变的难易程度。因此，Jz是度量转动刚体惯性大小的物理量。,注意：,由于 Mz(Fie) 和 （ 、）都是代数量，解题时要注意其正、负号。,求：制动所需时间 .,例4：已知： ，动滑动摩擦系数 ，,解：,FOx,FOy,W,应用小结,质点系动量矩定理：,求解刚体系统绕同一定轴转动的动力学问题,定轴转动微分方程：,求解单个刚体绕一定轴转动的动力学问题,12-4 刚体对轴的转动惯量,单位：kgm2,1. 简单形状物体的转动惯量计算,(1)均质细直杆对一端的转动惯量,由 ，得,（
6、2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量,（3）均质圆板对中心轴的转动惯量,式中：,或,2. 回转半径（惯性半径）,或,3平行轴定理,即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.,证明：,因为,有 ，得,要求记住三个转动惯量,（1） 均质圆盘对盘心轴的 转动惯量,（2） 均质细直杆对一端的 转动惯量,（3） 均质细直杆对中心轴 的转动惯量,则,解：,其中,由 ，得,4组合法,5实验法,例：求对 轴的转动惯量.,将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动.,由,其中 已知, 可测得，从而求得 .,解：,6. 查表法,均质物体的转动惯量,薄壁圆
7、筒,细直杆,体积,惯性半径,转动惯量,简 图,物体的形状,薄壁空心球,空心圆柱,圆柱,圆环,圆锥体,实心球,矩形薄板,长方体,椭圆形薄板,动力学,静力学,静力学是动力学的特殊情形, 动量矩定理主要应用于分析具有转动系统的动 力学问题。, 对于定轴问题，系统各部分对定轴的角速度必须 是同一惯性参考系中的角速度，也就是绝对角速度。, 计算动量矩以及外力矩时，都要采用相同的正负 号规则 右手定则。,应用动量矩定理时,关于突然解除约束问题,解除约束前： FOx=0, FOy=mg/2,解除约束前： FOx=0, FOy=mg/2,突然解除约束瞬时： FOx=？, FOy=？,应用定轴转动微分方程,应用质心运动定理,突然解除约束问题的特点：,1. 系统的自由度一般会增加；,2. 解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，加速度与角加速度将发生突变。,本章结束,
