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1、第一讲 极限与连续 一元函数微积分,专题1. 极限的求法,(1)用初等数学(例如三角、对数、指数, 分子与分母同乘以某式,提公因式等)中的恒等变形,使能约分的约分, 能化简的化简.,(2)用极限的四则运算,复合函数求极限, 连续函数求极限(代入法),*(4) 用等价无穷小代换,(3)有极限存在且不为0的因式, 可以先算出其极限提出来,再求剩下极限.,*(5) 利用两个重要极限求极限.,*(6)用洛必达法则求未定式的极限.,(7)用泰勒公式或拉格朗日式中值定公式或积分中值公式,*(9). 用定积分的定义,(11). 用收敛级数的必要条件,*(8). 用夹逼定理,*(10). 用单调有界证明(单调
2、递增有上界或者单调递减有下界),设 收敛, 则,(12). 柯西收敛准则,(13). 施笃兹(Stolz)定理,专题2: 求极限问题的反问题,专题4: 函数的连续性,间断点,连续函数的性质: 闭区间上的有界 性、最值、零点、介值定理、根的存在性,专题3: 无穷小(大)及其阶,专题5: 导数的概念与几何意义,专题6: 各种导数的计算,参量函数求导(一阶、二阶),隐函数求导,分段函数求导,莱布尼兹公式,专题7、利用导数研究函数的性态,单调性、极值、最值、凹凸、拐点、渐近线和曲率,专题8、积分的计算,1.换元法与分部积分法 2. 常用技巧:,(1). 通过适当的变量变换或分部积分, 得到一个与原积分
3、相同的积分, 建立一个等式, 从中得出原来要计算的积分.,(2). 将积分区间拆成两个, 再经适当的变换将两个区间上的积分合并以化简.,(3). 化成二重积分再交换积分次序.,专题9、反常积分,专题10、定积分的应用,专题11: 不等式问题,1. 微分学解决不等式问题常用方法,(1). 用单调性,(2). 用最值,(3). 用拉格朗日中值定理或柯西公式,(4). 用拉格朗日余项泰勒公式,(1) 利用定积分的保序性；,(2) 利用定积分中值定理和被积函数的单调性；,(3) 利用变上限定积分的单调性；,(4) 利用Cauchy不等式,(5) 利用无穷级数做估值,(6) 化成二重积分来处理,2、 定
4、积分和反常积分中不等式问题所用的方法,专题12 函数零点问题,方程根的存在性,(1) 若题目中涉及连续函数, 一般用连续函数介值定理(或连续函数零点定理); 若题目中涉及导数的零点, 则一般利用罗尔定理或罗尔定理与连续函数介值定理(零点定理)的综合应用; 如果讨论至多几个点, 要利用单调性.,(2) 含积分的零点问题,方法1: 将一个定积分看做一个变限函数,关于该积分的零点问题,可用微分学中的方法处理.,方法2: 用积分中值定理以及积分的其它性质 .,方法3: 以某定积分为零作为条件,讨论与此有关的函数的零点问题.,判定极限存在的准则,准则I 夹逼准则,(1),(2),两个重要极限,定义:,无
5、穷小的比较,定理(等价无穷小替换定理),常用等价无穷小:,(1),(2),(3),f (x)在点a 处：(1) 连续 (2) 有极限 (3) 有定义,则称 y=f (x)在点 a 连续。,若,函数连续的定义,三者关系是：,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,间断点的分类,无穷型,振荡型,第二类间断点,第二类间断点,定理(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,定理 (最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,闭区间上连续函数的性质,导数的定义,单侧导数,1.左导数:,2.右导数:,用定义.,含绝对值符号的函数
6、怎么求导？,在分段点处怎么求导？,分段函数的求导,写成分段函数再求导.,基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,(6) 参变量函数的求导法则,高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),高阶导数的求法,1.,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,2. 求出1-3或4阶后, 分析结果的规律性,写出n阶
7、导数.(数学归纳法证明),3.利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算，,变量代换等方法, 求n阶导数.,常用高阶导数公式,高阶导数的运算法则:,莱布尼兹公式,微分的定义,求法,定义,(微分的实质),导数与微分的关系,定理,微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,函数和、差、积、商的微分法则,微分的基本法则,微分形式的不变性,基本初等函数的微分公式,.,.,.,常用,麦克劳林公式：,.,.,.,.,.,.,.,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,或无穷大,其他类型,步骤:,步骤:,步骤:,用洛必达法则求未定式极限应注意什么
8、？,2o. 及时求出已定式的极限.,1o. 需要先验证条件.,求函数极值和最值,求极值的步骤：,(1) 求函数的所有驻点和导数不存在的点；,求a,b上连续函数f (x)的最值的步骤：,(1) 求函数的所有驻点和导数不存在的点；,(2) 把 f (x)在这些点的值与f (a) , f (b)比较，最大者为最大值，最小者 为最小值。,注：若连续函数f (x)在区间 I 内有唯一的极值点。则极大值就是最大值； 极小值就是最小值。,.,给定函数 y = f (x) ,求其竖直渐近线及斜渐近线。,.,.,.,两者的联系与区别？,2.不定积分,联系：它们的导数相同，都是 f (x).,原函数是不定积分中的
9、一个函数。,区别：,不定积分是函数族；,1. 原函数,4.微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,5. 不定积分的性质,3. 原函数存在定理,任何连续函数都有原函数。,但是连续函数的原函数不一定是初等函数。,.,6. 基本积分公式,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,（第二换元）,（分步积分）,（分步积分）,（第二换元）,（用第二换元法算得）,8、第一类换元法,7、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,常见类型:,反用第一换元法：,.,.,常用的代换有三角代换、双曲代换、倒代换等，用于：,是
10、否需要其它的代换， 具体问题，具体分析。,.,9、第二类换元法,10、分部积分法,分部积分公式,选择u的有效方法: (1)反对幂三指,L-对数函数；,I-反三角函数；,A-代数函数；,T-三角函数；,E-指数函数；,哪个在前哪个选作u.,(2)LIATE选择法,四种类型分式的不定积分,此两积分都可积,后者有递推公式,11 有理函数的积分,三角函数有理式的积分可化为有理函数进行积分 1三角函数有理式可表为 2用万能置换可化为有理函数的积分，故三角 函数的有理式都能“积得出来”. 3万能置换,令 ，则 故,某些无理函数有理化,为使其有理化，只需作变换,先配方，再作三角代换，即可有理化。,定积分,1
11、.定义,实质: 通过分割,取介点,求和,取极限得到的一类特殊和式的极限.是个确定的数. 与被积函数和积分区间有关,与积分变量的符号无关.,用定积分的定义求极限,基本思想：,a,b,.,.,f (x),2、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,注：此定理解决积分去掉积分号的问题。,.,(1)关于积分限为变元的函数,.,.,.,.,.,3、牛顿莱布尼茨公式,(2)（微积分基本公式）,牛顿莱布尼茨公式,4、定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,(1) 变量代换写出，要换限； (
12、2) 被积函数表示式受积分限的制约。 (3) 不用回代.,. 计算定积分(NL公式）,与计算不定积分的不同之处：,5、定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,X型区域的面积,1),如果图形为：,Y 型区域的面积,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,2),极坐标情形,3),(2) 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,柱壳法,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,6.若干重要结果,7、广义(反常)积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,NL公式+求极限, 1, 1, 1, 1,注,.,.,对吗?,对吗?,8
13、.曲率的计算公式,向量,坐标表示,既有大小又有方向的量,模及方向角,方向余弦,空间解析几何部分 1. 向量运算及坐标表示,n=A,B,C,M(a,b,d),A(x a)+B(y b)+C(zd)=0,Ax+By+Cz+D=0,b,c,a,(1) 点法式:,(2) 一般式,.,(3) 截距式：,(4) 三点式：,0,其中 D= Aa Bb Cd,2. 平面方程,(1) 两个平面垂直,(2) 两个平面平行,(3) 两个平面重合,已知两个平面,.,.,3. 平面与平面的位置关系,(4) 两个平面夹角为,(5) 两个平行平面间的距离为d,已知两个平面,d,.,3. 平面与平面的位置关系,.,1,2,n1,n2,.,.,/,
