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1、第二章 一元函数微分学,2,第二章 一元函数微分学,一、导数的概念,二、函数的求导法则,三、高阶导数,四、隐函数及参数方程参数所确定函数的导数,五、微分,2011/10/27,3,第一节 导数的基本概念(The Derivative),一、导数的背景,二、导数的定义,三、导数的几何意义及应用,第一节 导数的概念,2011/10/27,4,一. 背景,在真空中,当时间由t变到t+t 时,自由,1、物理背景-非匀速运动物体的速度问题,落体所经过的路程为,物体由t到t+t一段的平均速度是,第一节 导数的概念,2011/10/27,5,求物体在时刻t的瞬时速度vt,就是,令t0的极限过程：,第一节 导
2、数的概念,2011/10/27,2、医学背景-细胞的增值速度,设增值细胞在某一时刻t的总数N,显然N是时间t的函数,即N=N（t）,在t0到t0+t这段时间内,细胞的平均增长率为,6,它在t趋于0时的极限（如果存在的话）就是细胞在t0时刻的增值速度，即,第一节 导数的概念,2011/10/27,7,3、数学背景-平面曲线的切线问题 (TangentLines),播放,M,N,T,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,第一节 导数的概念,2011/10/27,8,沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.,平面曲线 y = f (x) 的切线：,曲线在点 A(x0,
3、 y0) 处的切线 AT 为过曲线上,点 A 的任意一条割线 AA 当点 A(x0+x, y0+ y),定义1,第一节 导数的概念,2011/10/27,9,(1) 建立一个函数关系 y = f (x) xI .,(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：,解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:,(3) 求 x 0 的极限：,小结,第一节 导数的概念,2011/10/27,10,二.导数的概念,设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义, 且 x0+x U(x0).,则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在,点 x0 处的导数. 记为,定义2,1
4、. 导数的定义,第一节 导数的概念,2011/10/27,11,k 0为常数.,如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则,第一节 导数的概念,2011/10/27,12,设函数 f (x) 在 x0 , x0+ ) 内有定义, 若,存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为,2.左、右导数,定义3,第一节 导数的概念,2011/10/27,13,设函数 f (x) 在 (x0 , x0 内有定义, 若,存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为,定义4,第一节 导数的概念,2011/10/27,14,定理,第一节 导数的概念,2011/10/2
5、7,15,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,16,3. 导函数,若 x(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在,(a, b) 内可导.这时 f (x) 是关于 x 的一个新函数,称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之,为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：,定义5,第一节 导数的概念,2011/10/27,17,函数在点 x0 I 处的导数:,若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 存在,则称 f (x )在 a, b 上可导, f (x) 称为 f (x) 在 a, b 上,的导函数,简称为导数.,先求导、后代值.
6、,定义6,第一节 导数的概念,2011/10/27,三、由定义求导数举例,18,步骤:,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,19,第一节 导数的概念,2011/10/27,20,解,更一般地,例如,第一节 导数的概念,2011/10/27,21,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,22,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,四、导数的意义,23,1.几何意义(Geometric Interpretation),第一节 导数的概念,2011/10/27,24,y,O,x,x0,y = c,f (x0) = 0,y,O,x,f (x0) = ,x0,O,x,y,x0,y
7、,O,x,x0,f (x0)不存在,f (x0)不存在,第一节 导数的概念,2011/10/27,25,例,解,根据导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,第一节 导数的概念,2011/10/27,26,2. 简单的物理意义,1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.,第一节 导数的概念,2011/10/27,27,函数 f (x) 在点 x0可导的,必要条件是它在点 x0 连续.,只是必要条件！,五、可导与连续的关系,第一节 导数的概念,2011/10/27,28,设 f (x) 在点 x0 可导, 即有,于是,故,第
8、一节 导数的概念,2011/10/27,29,y = | x | 在点 x = 0 连续, 但不可导.,故f (0) 不存在.,y = | x |,O,x,y,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,30,在点 x = 0 处的连续性和可导性.,又, 当 nN 时,函数在点 x = 0 处连续.,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,31,当 n =1 时,不存在,故 n =1 时,函数在 x = 0 处不可导.,当 n 1 时,故n 1时,函数在 x = 0 处可导.其导数为,第一节 导数的概念,2011/10/27,32, f (x) 在 x = 0 处可导,从而,f (0)
9、 = 1, f (x) 在 x = 0 处连续, f (0) = a .,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,33,由可导性：,故 b = 1, 此时函数为,第一节 导数的概念,2011/10/27,六、小结,34,1. 导数的概念与实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义与物理意义；,5. 函数可导一定连续，但连续不一定可导。,4. 由定义求导数；,第一节 导数的概念,2011/10/27,35,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,36,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,37,
10、2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,38,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,39,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,40,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,41,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,42,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,43,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,44,2.切线问题,切线：割线的极限,结束,M,T,N,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,第一节 导数的概念,2011/10/27,
